七校联考数学（理）学科试卷 2014.4

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂信息点。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 .已知集合
，
，则

2. 设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为

3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

A． B．

4.“
”是“曲线
过坐标原点”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.在钝角
中，已知
，
，
，则
的面积是

6.已知函数
，
，
的零点分别为
，
，
，则

7.已知函数
，
数列
满足
，且
是单调递增数列，则实数
的取值范围是

8. 过双曲线M:
的左顶点A作斜率为1的直线
,若
与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|, 则双曲线M的离心率是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。

2.本卷共12小题，共110分

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.已知
，其中
为虚数单位，则

10.在
的二项展开式中，
的系数为

11.在极坐标系下，圆
的圆心到直线
的距离是

12. 如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， FB=1，EF=
，则线段CD的长为____________.

13. 在平行四边形ABCD中, AD = 1,
,
. 若
, 则
的长为 .

14.设正实数
,
,
满足
, 则当
取得最大值时,
的最大值为____________.

三．解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；（Ⅱ）求
.

16. （本小题满分13分）

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为
和
，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

（Ⅰ）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

（Ⅱ）假设某人连续2次未击中目标，则终止射击，问：乙恰好射击4次后，被终止射击的概率是多少？

（III）设甲连续射击3次，用
表示甲击中目标的次数，求
的数学期望.

17. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，
丄平面
，

丄
，
丄
，
，
，
.

(Ⅰ)证明：
丄
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

（Ⅲ）设为棱
上的点，满足异面直线
与
所成的角为
，求
的长.

18. （本小题满分13分）

离心率为
的椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与
交于相异两点
、
，且
（
是坐标原点），求
.

19. （本小题满分14分）

已知数列中
，
，
，且当
时，
，
.记
的阶乘

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅲ）若
，求
的前
项和.

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.

(Ⅰ)确定
与
的关系式； （Ⅱ）试讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意
，都有

于是，当
，即
时，

当
，即
时，
……………………………13分

16、解：（Ⅰ）记“甲射击3次，至少1次未击中目标”为事件
，

由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，

故
.

答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为
. ……………………………4分

（Ⅱ）记“乙恰好射击4次后，被终止射击”为事件
，

由题意知
.

答：乙恰好射击4次后，被终止射击的概率为
. ……………………………8分

（III）方法一：

,
,

,
,

























. ……………………………13分

方法二：

根据题意
服从二项分布，
. ……………………………13分

17、解：（1）以
为
正半轴方向，建立空间直角坐标系

则

……………4分

（2）
，设平面
的法向量

则
, 取

是平面
的法向量

得：二面角
的正弦值为
……………………………8分

（3）设
；则
，

, 即

……………………………13分

18、解：(Ⅰ)依题意得
，解得
，故椭圆方程为
.

……………………………4分

（Ⅱ）由

设
、

则
,

从而
.

……………………………13分

19.解：(Ⅰ)

又
……………………………4分

（Ⅱ）由
两边同时除以
得
,即

数列
……………………………7分

（Ⅲ）
，

记
，

……………………………9分

记
的前
项和为
,

则

由
得
……………………………12分

……………………………14分

20. 解: (Ⅰ)依题意得
,则
.

由函数
的图象在点(1,g(1))处的切线平行于
轴得
.所以
. ……………………………3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)得
. ……………………………5分

……………………………7分

………………8分

………………9分

综上所述:当
时,函数
在(0,1)上单调递增,在
上单调递减；

当
时,函数
在(0,1)上单调递增,在
上单调递减,
；

当
时, 函数
在
当
时, 函数
在

在
上单调

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当
时，函数

即

令
，
则
，

即:

………………14分