四川省绵阳市2014届高三第三次诊断性考试 数学文（2014绵阳三诊）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

复数
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

3. 某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为

A.8

B.6

C.4

D.3

4. 已知命题
，下列的取值能使“
”命题是真命题的是

A.
B.
C.
D.

5. 执行如右图所示的程序框图，如输入
，则输出的值为

A.5

B.

C.9

D.

点在边长为1的正方形
内运动，则动点到顶点的距离
的概率为

A.
B.
C.
D.

函数
的零点个数为

A.3 B.2 C.1 D.0

已知函数
的一段图像如图所示，△
的顶点与坐标原点
重

合，是
的图像上一个最低点，
在轴上，若内角
所对边长为
，

且△
的面积
满足
，将
右移一个单位得到
，则

的表达式为

A.

B.

C.

D.

已知椭圆
的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上.
⊥

轴，点
在轴正半轴上.如果△
的角
所对边分别为
，其它的面积
满

足
，则椭圆的离心率为

A.
B.
C.
D.

设
，且
，
，则的最大值和最小值的差为

A.2 B.
C.
D.

为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为

了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请

你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.

12. 设
满足约束条件

则
的最大值为________.

已知幂函数
的图像经过点
，则
_________.

已知
是两个单位向量，且
，若
的夹角为60°则实数
___.

对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为
.如
，
，
，

........,若
，则
________.

（本小题满分12分）

已知
是等比数列
的前项和，
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的公比；

（Ⅱ）证明：
成等差数列.

（本小题满分12分）

绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：

甲

37

21

31

20

29

19

32

23

25

33



乙

10

30

47

27

46

14

26

10

44

46





（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；

（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田的概率.

（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点
在单位平面上，∠xOA=α，

∠AOB=，且α∈(，).

（Ⅰ）若cos(α+)
，求
的值；

（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=
在直角梯形ACEF中，
，已知二面角E-AC-B是直二面角.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积.

★





（本小题满分13分）

已知函数
其中
.

（Ⅰ）若
是
的一个极值点，求的值；

（Ⅱ）若函数
的图像上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数的最大值；

（III）试着讨论
的单调性.

★





（本小题满分14分）

已知圆E的圆心在x轴上，且与y轴切于原点.过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F作垂直于x轴的直线l分别交圆和抛物线于A、B两点.已知l截圆所得的弦长为,且
.

（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若P在抛物线运动，M、N在y轴上，且⊙E的切线PM（其中B为切点）且PN⊙E与有一个公共点，求△PMN面积S的最小值.

绵阳市高2011级第三次诊断性考试

数学（文科）参考答案及评分意见

一、选择题：每小题5分，共50分．

1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C

提示：第10题：由a+b+c=2，有a+b=2-c．由a2+b2+c2=12知，(a+b)2-2ab+c2=12，代入可得(2-c)2-2ab+c2=12，整理得ab=c2-2c-4．于是a，b可以看成是关于x的方程x2-(2-c)x+ c2-2c-4=0的两根，∴Δ=(2-c)2-4(c2-2c-4)≥0，解得-2≤c≤
，于是最大值与最小值之差为
．

二、填空题：每小题5分，共25分．

11．880 12．3 13．
14．1 15．1或2

三、解答题：共75分．

16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2 S9=S3+S6．

当q=1时，即得
，不成立．…………………………………………3分

当
时，即得
，

整理得：
，即
，

解得：
（舍去），或
．…………………………………………………7分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，

∴

，

∵
，

∴
，即a2，a8，a5成等差数列． ……………………………………12分



甲









乙















9

1

0

4

0





5

3

9

0

1

2

7

6









3

2

1

7

3

0



















4

7

6

4

6



17．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．

根据茎叶图可得统计结论如下：

结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．

结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分

（Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A，B，C，

乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a，b，

从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：

ABC，Aab，Bab，Cab，ABa，ACa，BCa，ABb，ACb，BCb，共10个． ……8分

其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：

Aab，Bab，Cab，ABa，ACa，BCa，ABb，ACb，BCb，共9个， ……………10分

∴
．……………………………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有
， ……………………2分

∵
，

∴
， ………………………………………………………………4分

∴
，

∴
． …………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，则
．

，

∴
， ………………8分

，即
．……………………………………12分

19．（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．

由底面ABCD是梯形，知DC//AG．

又∵ DC =
AB=AG=a，

∴ 四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，

∴ CG=
AB．

∴ AC⊥BC．

又∵ 二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF平面ABCD，

∴ BC⊥平面ACEF．

∴ BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．

∵ 平面ACEF平面ABCD，

由（Ⅰ）知BC面ACEF，DH//BC，

∴ DH面ACEF．

即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．

在Rt△ACB中，
，EF=
a．

由EF//
AC//CH，且∠ACE=90o，知四边形HCEF是矩形，

∴ FH//EC，于是FH⊥AH．

在Rt△FAH中，
．

∴
，

∴


．………12分

20．解：（Ⅰ）由已知有
，

∵(1，f(1))是f(x)的一个极值点，

∴
，

解得a=-1．……………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）由题意知x>0，且
≥-1恒成立，即a≤
.

令g(x)=
，于是
，

∴ 当x≥2时，
≥0，即g(x)是
上的增函数，

当0

∴ 当x=2时，g(x)取最小值g(2)=
，

∴ a≤
，即a的最大值为
．…………………………………………………7分

（Ⅲ）∵
=
，

设
，

当a>0时，

对称轴为
，过点(0，1)开口向下，有一个正根
，

则f(x)在
上是增函数，在
上是减函数．

当a<0时，
对称轴为
，过点(0，1)开口向上，

i）若a≤-1，
≥0，则f(x)在
上是增函数．

ii）若
，当x∈