四川省绵阳市2014届高三第三次诊断性考试 数学理（2014绵阳三诊）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

复数
的共轭复数是

A.

B.

C.

D.

3. 执行如右图所示的程序框图，如输入
，则输出的值为

A.9

B.

C.5

D.

已知向量
，
，
.若
，则

A.2 B.1 C.0 D.

已知命题
，若
是真命题，则实数的取值范围为

A.
B.
C.
D.

已知
，则函数
有零点的概率为

A.
B.
C.
D.

若抛物线
的焦点恰好是双曲线
的右焦点，

且
与
交点的连线过点，则双曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

已知函数
的一段图像如图所示，△
的顶点与坐标原点
重

合，是
的图像上一个最低点，
在轴上，若内角
所对边长为
，

且△
的面积
满足
，将
右移一个单位得到
，则

的表达式为

A.

B.

C.

D.

为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5

个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，

每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有

A.48种 B.42种 C.36种 D.24种

已知
，若关于的方程
恰好有4个不相等

的实数根，则实数的取值范围为

A.
B.
C.
D.

某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为_____.

二项式
展开式中的常数项是_______.

已知幂函数
的图像经过点
，则

_________.

已知实数
满足
，且
，则
的最小值为_______.

已知有限集
(n≥2).如果A中元素
满足

，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合
是“复活集”；

②若
，且
是“复活集”，则
；

③若
，则
不可能是“复活集”；

④若
，则“复合集”A有且只有一个，且n=
.

其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）

（本小题满分12分）

已知
是等比数列
的前项和，
成等差数列.

（Ⅰ）求数列
的公比；

（Ⅱ）证明：
成等差数列.

（本小题满分12分）

绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：

甲

37

21

31

20

29

19

32

23

25

33



乙

10

30

47

27

46

14

26

10

44

46





（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；

（Ⅱ）从甲、乙两块试验田中棉花株高在[30,40]中抽4株，记在乙试验田中取得的棉花苗株数为
，求
的分布列和数学期望
（结果保留分数）.

（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点
在单位平面上，∠xOA=α，

∠AOB=，且α∈(，).

（Ⅰ）若cos(α+)
，求
的值；

（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=
在直角梯形ACEF中，
，已知二面角E-AC-B是直二面角.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当在多面体ABCDEF的体积为
时，求锐二面角D-EF-B的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的焦点坐标为
,
,过
垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且
.

（Ⅰ）求椭圆形的方程；

（Ⅱ）过
点作相互垂直的直线
，分别交椭圆于
试探究
是否为定值？并求当圆边形
的面积S最小时，直线
的方程.

21.（本小题满分14分）

已知函数
有且只有一个零点，其中a＞0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的
，有
成立，求实数k的最大值；

（III）设
，对任意
，证明：不等式
恒成立.

绵阳市高2011级第三次诊断性考试

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：每小题5分，共50分．

1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．C

二、填空题：每小题5分，共25分．

11．22 12．180 13．
14．9+
15．①③④

提示：第15题：易判断①是正确的；

②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；

③不妨设A中a1(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．

三、解答题：共75分．

16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2 S9=S3+S6．

当q=1时，即得
，解得a1=0，不成立．……………………………3分

当
时，即得
，

整理得：
，即
，

解得：
（舍去），或
． …………………………………………………7分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，

∴

，

∵
，

∴
，即ak，ak+6，ak+3（k∈N*）成等差数列．…………………12分



甲









乙















9

1

0

4

0





5

3

9

0

1

2

7

6









3

2

1

7

3

0



















4

7

6

4

6



17．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．

根据茎叶图可得统计结论如下：

结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．

结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分

（Ⅱ）ξ的取值为0，1．

，
，

∴ ξ的分布列：

ξ

0

1



P







 ………………………………………………………11分

．………………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有
， ……………………2分

∵
，

∴
， ………………………………………………………………4分

∴
，

∴
． …………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，得
．

又
，于是
，

∴
， ………………8分

∴

=

=

=

=

，即
．………………………………12分

19．（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．

由底面ABCD是梯形，知DC//AG．

又∵ DC =
AB=AG=a，

∴ 四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，

∴ CG=
AB

∴ AC⊥BC．

又∵ 二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF平面ABCD，

∴ BC⊥平面ACEF．

∴ BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．

∵ 平面ACEF平面ABCD，

由（Ⅰ）知BC面ACEF，DH//BC，

∴ DH面ACEF．

即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．

在Rt△ACB中，
，EF=
a．

∴

．

∴
．

如图，以C为坐标原点，CA、CB、CE为x，y，z轴建立空间坐标系，

∴

，

设面BEF的法向量n1=(x，y，z)，

令y=z=1，可得n1
，

同理可得面DEF法向量n2