七校联考数学（文）学科试卷 2014.4

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂信息点。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式:

· 如果事件
互斥，那么

．

· 棱柱的体积公式

其中
表示棱柱的底面面积，

表示棱柱的高．



一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）化简
的结果是（　　）

A．
B．
C．
D．

（2）已知变量
满足条件
则
的最大值是 ( )

A．2 B．5 C．6 D．8

（3）如果执行右面的程序框图，那么输出的
( )

A．190 B．94 　　 C．46 　 D．22

（4）设
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

（5）设双曲线
的离心率为
，且直线
（是双曲线的半焦距）与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

（6）已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．2

（7）给出下列四个命题，其中真命题为（ ）

①命题“
”的否定是“
”；

②函数
在区间
上的最小值是
；

③
；

④若
，直线
与直线
相互垂直，则
.

A．①④ B．②④ C．②③ D．①③

（8）设
是定义在上的奇函数，且当
时，
，若对于任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。

2.本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）设集合
，
，则
中元素的个数是 个．

（10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ．

（11）如图，设
的外接圆的切线
与
的延长线交于点，
的平分线与
交于点．若
，
，则
．

（12）已知圆
的圆心是直线
与轴的交点，且圆
与直线
相切，则圆
的方程为 ．

（13）在
中，
，
，
，是边
上一点，
，则
．

（14）对于实数
，定义运算“”：
，设
，若关于的方程
恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是 .

三．解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

（15）(本小题满分13分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若从抽取的人中选2人作专题发言，

（i）列出所有可能的抽取结果；

（ii）求这二人都来自高校C的概率．

（16）(本小题满分13分)在
中，
，
，
，角为锐角．

（Ⅰ）求角和边
；（Ⅱ）求
的值．

（17）(本小题满分13分)如图所示，直角梯形
与等腰直角
所在平面互相垂直，为
的中点，
，
，
.（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

（18）(本小题满分13分)在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
．

（Ⅰ）求
与
； （Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

（19）(本小题满分14分)已知函数

，其中
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
，函数
在区间
上的最大值为
，最小值为，求
的取值范围．

（20）(本小题满分14分)设
分别是椭圆
的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，满足
，
的周长为12．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求
的最大值和最小值；

（Ⅲ）已知点
，
，是否存在过点的直线
与椭圆交于不同的两点
，使得
？若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由．

七校联考数学（文）答案 2014.4

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题5分，共40分.

(1)C (2)C (3)B (4)A (5)D (6)C (7)D (8)A

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

(9)12 (10)4 (11)
(12)
(13)
(14)

三．解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(15)本小题满分13分

解：（Ⅰ）由题意知，
，所以
.

（Ⅱ）（i）记抽取的人为，
，
，则从抽取的人中选2人作专题发言所有可能的抽取结果是：

共15种

（ii）“这二人都来自高校C”记为事件，其包含的所有可能结果是
，共3种，

所以，

(16)本小题满分13分

解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得
，解得
．因为B为锐角，所以
．

因为
，所以
，解得 BC＝3．

（Ⅱ）由正弦定理
及已知得
，因为
，所以角
为锐角，
，故
，
，所以，

(17)本小题满分13分

解：（Ⅰ）∵面
面
，面

面
，
,

∴
面
，又∵
面
，∴平面
平面
.

（Ⅱ）取
的中点，连结
、
，则


,

又∵


，∴

，∴四边形
是平行四边形，∴
∥
，

又∵
面
且
面
，∴
∥面
.

（Ⅲ）∵
面
，∴

，∵等腰直角
，为
的中点，

∴

，∵
交
于
，∴
面
，又
∥
，∴
面
，

所以，
即为所求，

(18)本小题满分13分

解： 解：（Ⅰ）设
的公差为
，因为
所以

解得
或
（舍），
． 故
，
．

（Ⅱ）
，

(19)本小题满分14分

解：（Ⅰ）
(x)＝3x2－6ax＝3x（x－2a），令
(x)＝0，则
＝0，x2＝2a，

（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，
(x)，
(x)的变化情况如下表：

x

（－，0）

0

（0，2a）

2a

（2a，＋）




(x)

＋

0

－

0

＋




(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗



所以函数