新津中学高2011级高三（下）4月月考试题

数学（理工类）

考试时间120分钟 满分150分 [来源:学_科_网Z_X_X_K]

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.设复数
是虚数单位），
的共轭复数为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

已知集合
,若
，则
为（）

A、
B、
C、
D、

3.已知直线
和平面
，
，且
在
内的射影分别为直线
，则直线
的位置关系为（ ）

A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平
行或异面

4.对任意非零实数
，若
的运算规则如下图的程序

框图所示，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.
为各项都是正数的等比数列，
为前
项和，且
，那么
（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

6、已知函数
，将
的图像上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移
个单
位，得到函数
的图像。则函数
的解析式为（）

A、
B、
C、
D、

7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图

如图所示，则该截面的面积为（ ）

A．

B． 4 C．
D． 5

8.已知
，若
恒成立，则
的取值范围是（）

A、
B、
C、
D、

9.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为（ ）

A．96 B．114 C．128 D．136

若实数a,b,c,d满足
，则
的最小值为（）

A、
B、2 C、
D、8

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）

11. 若直线
与
垂直，则二项式
展开式中x的系数为_______

12.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于______________

13.已知向量
，若
与
的夹角为锐角，则
的取
值范围是

14. 已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△
的面积为

15. 给出以下五个命题：

①对于任意的a>0,b>0，都有
成立；

②直线
的倾斜角等于

③已知异面直线a,b成
角，则过空间一点P且与a,b均成
角的直线有且只有两条。

④在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆。

⑤已知函数
，若存在常数M>0，使
对定义域内的任意x均成立，则称
为“倍约束函数”。对于函数
，该函数是倍约束函数。

其中真命题的序号是_________________

三、解答题（本大题共6小题，共75分.）

16.（本小题满分12分）已知函数
在区间
上的最大值为2．

（Ⅰ）求常数
的值；

（Ⅱ）在
中，角
，
，
所对的边是
，
，
，若
，
，

面积为
，求边长
．

17.（本小题满分12分）自“钓鱼岛事件”，中日关系日趋紧张，不断升级．为了积极响应“保钓行动”，学校举办了一场保钓知识大赛，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为保钓行动代言人．

（Ⅰ）求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；（Ⅱ）设
为选出的4个同学中女生的个数，求
的分
布列和数学期望．

18. （本小题满分12分
）已知数列
满足
，且
，
为
的前
项和.

(Ⅰ)求证：数列
是等比数列，并求
的通项公式；

(Ⅱ)如果对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分12分）如图甲，圆O的直径AB=2，圆上C、D两点在直径AB的异侧，且
。沿直径AB折起，使得两个半圆所在的平面垂直（如图乙），F为BC的中点。根据图乙解答下列问题。

（1）求三棱锥C-BOD的体积；

（2）求二面角C-AD-B的余弦值；

（3）在弧BD上是否存在点G，使得GF//平面ACD？若存在，试确定点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，说明理由。

20.（本小题满分13分） 在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为坐标原点，左焦点为
，
为椭圆
的上顶点，且
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）已知直线
：
与椭圆
交于
，
两点，直线
：

（
）与椭圆
交于
，
两点，且
，如图所示.

①证明：
；②求四边形
的面积
的最大值。

21.（本小题满分14分）已知函数
。

（Ⅰ）求函数
的单调区间及最大值；

（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
，其中
。

新津中学高2011级
高三（下）4月月考试题

数学（理工类） 参改答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

D

C

A

C

C

D

B

B



二、填空题：

题号

11

12

13

14

15



答案

-40

60



32

①④⑤



解答题：

16.解：（1）


∵
∴

∵ 函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数

∴当
即
时，函数
在区间
上取到最大值．

此时，
得
……………………6分

（2）∵
∴
，解得
（舍去）或
…8分

∵
，
∴
①

∵
面积为
∴
即
…………②

由①和②解得
…………………………10分

∵
∴
……12分

17.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件
，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1
个是男同学，1个为女同学”为事件
，由于事件
?
互斥，且

∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为
……5分

（2）
可能的取值为0，1，2，3，

∴
的分布列为

0[来源:Z§xx§k.Com]

1

2

3



P











…………10分

∴
的数学期望
……
……………………12分

18. (Ⅰ) 对任意
,都有
，所以

则
成等比数列,首项为
，公比为

所以
，

(Ⅱ) 因为

所以

因为不等式
，化简得
对任意
恒成立

设
，则

当
,
,
为单调递减数列，当
,
,
为单调递增数列

,所以,
时,
取得最大值
，

所以, 要使
对任意
恒成立，
。

20.（理科）

[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）设
，
，
，
.

（ⅰ）证明：由
消去
得：
.

则
，

同理
.
因为
,

所以
.

（
）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为
，

则
。因为
，所以
。

所以

.

所以 当
时， 四边形
的面积
取得最大值为
.

21.

（
）当
时，由
，因为
，所以
。