吉林省长春市吉大附中2014届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用
铅笔填涂；非选择题必须使用
毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）复数满足
为虚数单位），则的共轭复数为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设全集为R，集合

，则集合
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和轴都相切，则该圆的标准方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）曲线
在点
处的切线方程为
，则
的值为

（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1

（5）设变量x，y满足约束条件
则目标函数
的最小值为

（A）
（B）
（C）1 （D）2

（6）下列说法中表述恰当的个数为

①相关指数
可以刻画回归模型的拟合效果，
越接近于1，说明模型的拟合效果越好；

②在线性回归模型中，
表示解释变量对预报变量的贡献率，
越接近于1，表示解释变

量和预报变量的线性相关关系越强；

③若残差图中个别点的残差比较大，则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模

型是否恰当．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（7）已知
，则

（A）18 （B）36 （C）72 （D）144

（8）若
是偶函数，则a的值为

（A）
（B）1 （C） （D）

（9）设
，则下面不等式中不恒成立的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（11）函数
与
在同一直角坐标系中的图象可能是

（A） （B） （C） （D）

（12）方程
的曲线为函数
的图象，对于函数
，下面结论中正确

的个数是

①
在上单调递减；

②函数
不存在零点；

③函数
的值域是；

④若函数
与
的图象关于原点对称，则
的图象是方程
所确定

的曲线.

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

（13）已知向量
，其中
， 若
，则
的值等于　　 　　．

（14）如图所示的程序框图，若输入
的值分别为
，执行

算法后输出的结果是 ．

（15）在平面几何中有如下结论：若正三角形
的内切圆面积为
，

外接圆面积为
，则
.　推广到空间几何体中可以得到类

似结论：若正四面体
的内切球体积为
，外接球体积为
，

则
．

（16）
中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且

，则
．

三、解答题．

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列
的前项和为
，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
与
的等差中项为18，
满足
，求数列
的前项和．

（18）（本小题满分12分）

近年，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与
有关.
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.
日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见下表：

日均值 (微克)

空气质量等级





一级





二级





超标





某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的
日均值作为样本，样本数据茎叶图如上图所示（十位为茎，个位为叶）．

（Ⅰ）求甲、乙两市
日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；

　　（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级

的概率．

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
，延长
到点，使
，点为
的中点，
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，离心率为．

（Ⅰ）若
，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
两点，若
，求
的值．

（21）（本小题满分12分）

设函数
，
．

（Ⅰ）当
时，设
，讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）证明：当
时，
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是圆O的割线，AC =AB，CE交圆O于点G．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：FG∥AC.

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知点
，点
在轴上，点
在轴的正半轴上，且满足

，点
在直线
上，且满足
=2
.

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）若点M在曲线C：
(t为参数)上，求点M对应的参数t (0＜t＜2π)的值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲

在
中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题.

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

2013—2014学年下学期高三年级

第三次模拟考试 文科数学（参考答案）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

C

A

D

B

D

D

A

A

C





二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

（13） （14） （15）
（16）

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）当
时，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当
时，
=
，　　……2分

∵
是等差数列，∴
. 　　　　　　　　　　　……4分

（Ⅱ）依题意
∴
.

又
， ……8分

又
，得
，

∴
，

，即
是等比数列. ……10分

∴数列
的前项和
=
. ……12分

（18）（本小题满分12分）

解析（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是32，33，34，46，62，69；

乙市抽取的样本数据分别是34，38，51，61，63，71．

，
．　　　……3分

因为
，所以甲市的空气质量较好. 　 ……5分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有3天空气质量等级为一级，有3天空气质量等级为二级，

空气质量等级为一级的三天数据为
，空气质量等级为二级的3天数据为
，

则6天中抽取两天的所有情况为：

．

基本事件总数为15． ……8分

记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件A，

则事件A包含的基本事件为：
，

事件数9． ……10分

所以
. 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为
． ……12分

（19）（本小题满分12分）

解析（Ⅰ）因为E、B分别为A′D、DC的中点，所以BE∥A′C ……2分

又A′C平面A′ACC′，且BE平面A′ACC′，

所以，BE∥平面A′ACC′． ……6分

（Ⅱ）∵
，

∵
为直三棱柱，∴
，∴
，

又
平面
，∴

∴
平面
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

∴
． 　 　……10分

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

（20）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由题意得
，所以
．

又由
，解得
．

所以椭圆的方程为
． ……4分

（Ⅱ）由
得
．

设
，由根与系数的关系可知，

，且
． ……7分

又
．

所以
．

即
． ……9分

整理得
． ……11分

∴
. ……12分

（21）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

当
时，
，故有：

当
，即
时，
，
；

当
，即
时，
，

令
，得
；令
，得
，　　　　　　　　　　……5分

综上，当
时，
在
上是增函数；

当
时，
在
上是减函数，在
上是增函数．

（Ⅱ）令
，则
，

令
，则
，

所以
在
上单调递减，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

而
，
，所以存在
，使得