吉林省长春市吉大附中2014届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 　

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用
铅笔填涂；非选择题必须使用
毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设全集为R，集合

，则集合
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）若
(为复数集)，则
是
的

（A）充要条件

（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）下列说法中表述恰当的个数为

①相关指数
可以刻画回归模型的拟合效果，
越接近于1，说明模型的拟合效果越好；

②在线性回归模型中，
表示解释变量对预报变量的贡献率，
越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强；

③若残差图中个别点的残差比较大，则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误或模型是否恰当．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（5）若
是偶函数，则a的值为

（A）
（B） （C） （D）

（6）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有

（A）
·
个 （B）
·
个 （C）
·104个 （D）
·104个

（7）如图所示，为双曲线
的左焦点，双曲线上的点
与
关于

轴对称，则
的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）命题
，则

（A）是真命题，

（B）是假命题，

（C）是真命题，

（D）是假命题，

（9）设
，则下面不等式中不恒成立的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（10）函数
与
在同一直角坐标系中的图象可能是

（A） （B） （C） （D）

（11）方程
的曲线为函数
的图象，对于函数
，下面结论中正确的是

①
在上单调递减；

②函数
不存在零点；

③函数
的值域是；

④若函数
与
的图象关于原点对称，则
的图象是方程
所确定的曲线.

（A）①② （B）①③ （C）①②③ （D）①②③④

（12）设函数
，满足

其中

，则
的值为

（A）0 （B）
（C）
（D）－1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

（13）已知向量
，其中
，

若
，则
的值等于　　 　　.

（14）如图所示的程序框图，若输入
的值分别为
，执行

算法后输出的结果是　　　　　.

（15）
中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且

，则
　　　　　　.

（16）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体容器内

可向各个方向自由运动（在小球运动过程中，小球和容器内壁都

不会发生形变），则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积

为　　　　　　　.

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列
的前项和为
，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
与
的等差中项为18，
满足
，求数列
的前项和．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
，求k的值.

（19）（本小题满分12分）

在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）

几何证明选讲

坐标系与参数方程

不等式选讲

合计



男同学

12

4

6

22



女同学

0

8

12

20



合计

12

12

18

42



（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

几何类

代数类

总计



男同学

16

6

22



女同学

8

12

20



总计

24

18

42



据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？

（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．

①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；

②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

下面临界值表仅供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：
.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，离心率为．

（Ⅰ）若
，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
两点，若
，且
，求的最小值．

（21）（本小题满分12分）

已知
(
为
的导函数，
)

（Ⅰ）请写出
的表达式（不需证明）；

（Ⅱ）求
的极小值；

（Ⅲ）设
的最大值为，
的最小值为，试求
的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是圆O的割线，AC =AB，CE交圆O于点G．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：FG∥AC.

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知点
，点
在轴上，点
在轴的正半轴上，且满足

，点
在直线
上，且满足
=2
.

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）若点M在曲线C：
(t为参数)上，求点M对应的参数t (0＜t＜2π)的值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲

在
中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题.

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

2013—2014学年下学期高三年级

第三次模拟考试 理科数学（参考答案）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

D

A

A

A

C

B

A

C

C





二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

（13） （14） （15）
（16）

三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）当
时，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当
时，
=
，　　……2分

∵
是等差数列，∴
. 　　　　　　　　　　　……4分

（Ⅱ）依题意
∴
.

又
， ……8分

又
，得
，

∴
，

，即
是等比数列. ……10分

∴数列
的前项和
=
. ……12分

（18）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.

∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形， ……2分

∴BE∥AD且BEAD4k.

在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，

∴∠BEC90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ……4分

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，

∴CD⊥平面ADD1A1. ……6分

（Ⅱ）以D为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以

，

，

．

设平面AB1C的法向量n (x，y，z)，

则由
得

取y2，得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……9分

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sin θ|cos〈
，n〉|

，

解得k1，故所求k的值为1. ……12分

（19）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． ……4分

（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．

①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P(A∩B)
，P(A)
.

所以P(B|A) 
 . ……7分

方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，

则P(C)
.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X0)
；P(X1)
；P(X2)
.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……10分

于是E(X) 0×＋1×＋2×. ……12分

（20）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由题意得
，所以
．又由
，解得
．

所以椭圆的方程为
． ……5分

（Ⅱ）由
得
．

设
，所以
，且
．　　　　　　……7分

又
．

所以
．即
．

整理得
．　　　　　　　　　　　　　　　……10分

由
及
．知
．

所以
．

所以
，∴
．

因此的最小值
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……12分

（21）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）依题意
.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……3分

（Ⅱ）
，当
时，