北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）

数 学 （文科） 2014.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集为
，集合
，那么集合
等于

A.
B.
C.
D.

2. 已知命题p:
,则
为

A.
B.

C.
D.

3. 下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是

A.
B.
C.
D.

4．设
，
，
，则

A.
B.
C.
D.

5.下面给出的四个点中, 位于
表示的平面区域内,且到直线
的距离为
的点是

A.
B.
C.
D.

6.已知向量
，
和
在正方形网格中的位置如图所示，

若
，则

A. 2 B.
C. 3 D.

7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧
间的距离，李宁同学首先选定了与
不共线的一点
，然后给出了三种测量方案：（
的角
所对的边分别记为
）：

① 测量
② 测量
③测量

则一定能确定
间距离的所有方案的序号为

A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

8. 已知点
分别是正方体
的棱
的中点，点
分别是线段
与
上的点，则与平面
垂直的直线
有

A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 复数
的模等于______.

10. 若抛物线

的准线经过双曲线
的左顶点，则
_____.

11. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为_______.

12. 下列函数中：

①
；②
；③
，

其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数
的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）

13. 已知实数
且
，函数

若数列
满足

，且
是等差数列，则

14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/
.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
,
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）若函数
有零点，求实数
的取值范围.

16.（本小题满分13分）

下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:

记
本月价格指数
上月价格指数. 规定：当
时，称本月价格指数环比增长；

当
时，称本月价格指数环比下降；当
时，称本月价格指数环比持平.

(Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；

(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率;

(Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)

17.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱
中，
底面
，
，E、F分别是棱
的中点.

（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；

（Ⅱ）若线段
上的点
满足平面
//平面
，试确定点
的位置，并说明理由；

（Ⅲ）证明：
⊥A1C.

18.（本小题满分13分）

已知函数
，其中
且
.

（Ⅰ）求证：函数
在点
处的切线与
总有两个不同的公共点；

（Ⅱ）若函数
在区间
上有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
,短轴端点分别为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若
,
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴交于点
，判断以线段
为直径的圆是否过点
，并说明理由.

20.（本小题满分13分）

给定正整数
，若项数为
的数列
满足：对任意的
，均有
（其中
），则称数列
为“Γ数列”．

（Ⅰ）判断数列
和
是否是“Γ数列”，并说明理由；

（Ⅱ）若
为“Γ数列”，求证：
对
恒成立；

（Ⅲ）设
是公差为
的无穷项等差数列，若对任意的正整数
，

均构成“Γ数列”，求
的公差
．

北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）

数 学 （文科）参考答案 2014.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.
10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6

{第13，14题的第一空3分，第二空2分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15.解：

（Ⅰ）
--------------------------4分

---------------------------6分

∴周期
----------------------------7分

（Ⅱ）令
，即
， ------------------------------8分

则
， --------------------------------9分

因为
， ---------------------------------11分

所以
， --------------------------------12分

所以，若
有零点，则实数
的取值范围是
. -----------------------------13分

16.解：

（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分

（Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有

4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分

设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A， --------------------------------------7分

在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分

其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分

∴
-----------------------------------------10分

（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.

-----------------------------------------13分

17.解：

（I）
底面
，

， -------------------------2分

，
，

面
. --------------------------4分

（II）
面
//面
，面

面
，面

面

，

//
， ---------------------------7分

在
中
是棱
的中点，

是线段
的中点. ---------------------------8分

（III）
三棱柱
中

侧面
是菱形，

， --------------------------------9分

由（1）可得
，

，

面
， --------------------------------11分

. -------------------------------12分

又
分别为棱
的中点，

//
， ------------------------------13分

. ------------------------------14分

18. 解：

（Ⅰ）由已知可得
. ---------------------------------1分

， ---------------------------------2分

又

在
处的切线方程为
. ---------------------------------4分

令
，整理得
.

或
， -----------------------------------5分

， ----------------------------------------6分

与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分

（Ⅱ）
在
上有且仅有一个极值点，

在
上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分

由二次函数图象性质可得
， -------------------------------------10分

即
，解得
或
， ----------------------------12分

综上，
的取值范围是
. -------------------------------13分

19.解:

（Ⅰ）由已知可设椭圆
的方程为：
--------------------------------------------1分

由
，可得
，----------------------------------------------------------------3分

解得
, -----------------------------------------------------------4分

所以椭圆的标准方程为
. ----------------------------------------------------5分

（Ⅱ）法一：

设
则
------------------------------------------------------6分

因为
，

所以直线
的方程为
， ------------------------------------------------------7分

令
，得
，所以
. ----------------------------------------------8分

所以
-------------------------------------------9分

所以
， ---------------------------------------------10分

又因为
，代入得
--------------------11分

因为
，所以
. -----------------------------------------------------------12分

所以
， -------------------------------------------------------13分

所以点
不在以线段
为直径的圆上. ---------------------------------------------14分

法二：设直线
的方程为
，则
. ------------------------------------------------6分

由
化简得到
，

所以
，所以
， -------------------------------------8分

所以
，

所以
，所以
----------------------------------------9分

所以
---------------------------------------------10分

所以
， --------------------------------------12分

所以
， ---------------------------------------13分

所以点
不在以线段
为直径的圆上. ------------------------------------14分

20.解：

（Ⅰ）①因为
，数列
不是“
数列”， ---------------------------------2分

②因为
，又
是数列
中的最大项

所以数列
是“
数列”. ----------------------------------------------4分

（Ⅱ）反证法证明：

假设存在某项
，则

.

设
，则

，

所以
，即
，

这与“
数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）问可知
．

①当
时，
，符合题设； ---------------------9分

②当
时，

由“
数列”的定义可知
，即

整理得
（*）

显然当
时，上述不等式（*）就不成立

所以
时，对任意正整数
，
不可能都成立.

综上讨论可知
的公差
. --------------------------------------------------13分