四川省2014届高三“联测促改”数学理试题

参考答案

一、选择题：

1. C

2、B

3. D

4. C

5. D

6. B

7. B

8. D

9. B

10. A

二、填空题：

11.【答案】：15

12.

13.：9

14. 4

15.①③④

三、解答题：

16.【解析】：⑴这6位同学的成绩平均效为

又

故这6位问学成绩的标准差为s=7……………….6分

⑵随机变量
可能的取值为0,1,2，则

故
的分布列为

0

1

2



P











即
的数学期望
………………12分

17.【解析】：⑴由题知，对
有
,

所以当
且
时,

∴当
时,{
}不是等比数列；当
时，{
}是以
为首项，
为公比的等比数列……………(7分)

⑵当
时，

∴第10个星期一选A种菜的大约有300人。…………..12分

18.【解析】：由题可知，
，

⑴当
时，
，

∵

∴

∵为三角形的内角，∴
……………….5分

⑵当
时，
，其中为锐角，且
，

当且仅当
时，函数
。

此时

∴
，则
...12分

19. 【解析】：⑴当
时，PA∥平面QBD，证明如下：

连结AC交BD于点M，

∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC

过PA的平面PAC
平面QBD=MQ,

∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.…………………4分

⑵设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).

∵PQ=2QC，∴

设平而QBD的一个法向量为
，

则

取
。

又平面CBD的一个法向量为

设二面角Q-BD-C的平面角为
，又
为锐角

∴

∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值
。………………12分

20.【解析】：⑴
,

∵点P(2,1)在椭圆上,∴
……………5分

⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：
.

设点C(2, 0)关于直线l的对称点为
，则

若点
在椭圆
上，则

设
，因此原问题转化为关于t的方程
有正根.

①当
时，方程一定有正根；

②当
时，则有

∴综上得
.

又椭圆的焦距为
.

故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………13分

21.【解析】：⑴

∴故切线斜率

∴所切线方程：
。………….3分

⑵由题可知：

∵

∴

∴
。………8分

⑶令

令
在
上单调递增。

∵

∴所以
存在唯一零点
，即
。

当
时，
；

当
时，
；

∴
在
时单调递减；在
时，单调递增；

∴

由题意
，又因为
，所以k的最大值是3。………………14分