2014年皖北协作区高三年级联考试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：1-10 DC C D D B A A B C

二、填空题： 11. 1；12.
；13.
；14.
； 15.（1）（2）（3）（4）

三、解答题：

16.解：

………………2分

………………6分

由题意知
在点
处取得最大值或最小值是
……8分

于是，得
………………10分

整理，得
,解得
. ………………12分

17. 解：由题设
得

………………3分

. ………………4分

令
，则
………………5分

，

在
上单调递增. ………………7分

又
………………9分

当
时，
在
上单调递增；………10分

当
时，
在
上单调递减. …11分

故
在
上单调递减，
在
上单调递增. ………………12分

解：（1）设每次比赛乙获胜的概率为p，则比赛5次乙恰好有k次获胜的概率为

(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)， ……………2分

由题设
，且
，

化简得
， ……………4分

所以，乙获胜的概率为
……………5分

（2）甲获胜的概率为
……………6分

依题意知，
的所有可能值为2，4，6. ……………7分

[解法一]设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

　　　　
．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
，

　
，
， ………………10分

故
． ………………12分

[解法二] 令
表示甲在第局比赛中获胜，则
表示乙在第局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得：
，

，

，

故
． ………………12分

19.（1）作
面
于
，

作
面
于
，因

与
都是正三棱锥，

且
、
分别为
与
的

中心，

且

. ………………3分

所以四边形
是平行四边形，所以
. ………………4分

又O1O2 ABCD,
，所以
平面
. …………6分

（2）如图，建立空间直角坐标系，
、
、
、
、

.

、
、

、
.…7分

设
为平面
的法向量，

………………9分

设
为平面
的法向量，

………………10分

设平面
与平面
所成锐二面角为， ………………11分

………………12分

所以，面
与面
所成锐二面角的余弦值为
. ………………13分

20.解：（1）由题意可设椭圆方程为

，

由
得
， ………3分

所以，椭圆方程为
………4分

设
，则直线
的方程
，

可得
， ………………6分

设定点
，
，

，即
， ………………8分

………………10分

又因为
，所以
………………12分

进而求得
，故定点为
. ………………13分

21.解：（1）

………………2分

当
时，由
知：
……………3分

………………4分

∵
时，
；
时，
；

∴
上单调递增,在
上单调递减

∴
在
处取得最大值，

即
． ………………6分

（2）当
时，欲证
，

只需证明
………………7分

∵

． ………………9分

所以，当
时，都有
成立． ………………10分

（3）

所以，对任意正整数，都有
成立． ………………13分