陕西省西北工业大学附属中学2014届高三第六次模拟

数 学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．函数
的定义域是

A．[1，2] B．
C．
D．

2．“
”是“函数
存在零点”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知定义在区间
上的函数
的图象如右图所示，则
的

图象为

4．已知圆
，抛物线
的准线为，设抛物线上任意一点到直线的距离为，则
的最小值为

A．5 B.
C.
-2 D.4

5．2014年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有

A．68种 B．84种 C．168种 D．224种

6．右图是计算
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是

A．
B．

C．
D．

7．设等差数列
的前n项和为
，若
，则必定有

A．
B．

C．
D．

8．已知O, A, M,B为平面上四点，且
，实数
，则

A. 点M在线段AB上 B. 点B在线段AM上

C. 点A在线段BM上 D. O,A,M,B一定共线

9．在
中，内角
所对的边分别为
，其中
，且
面积为
,则

A．
B．
C．
D.

10．已知
表示不超过实数的最大整数
，如：
．定义
，给出如下命题：

① 使
成立的的取值范围是
；

② 函数
的定义域为，值域为
；

③
1007；

④ 设函数
，则函数
的不同零点有3个.其中正确的命题有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11．复数
的虚部是__ ___．

12．若
，则的值是__ ___．

13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．

14．在
中，不等式
成立；在凸四边形ABCD中，

不等式
成立；在凸五边形ABCDE中，不等式
成立，…，依此类推，在凸n边形
中，不等式
__ ___成立.

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为
(为参数)，圆
的参数方程为
(
为参数), 则圆心
到直线的距离为_________．

B．（几何证明选讲）如右图，直线
与圆
相切于点
，割线

经过圆心
，弦
⊥
于点，
，
,则
_________．

C．（不等式选讲）若存在实数使
成立，则实数

的取值范围是_________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的最大值，并写出
取最大值时的取值集合；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
若

求实数的最小值.

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为
，

(Ⅰ)证明：数列
是等差数列，并求
；

（Ⅱ）设
，求证：

18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．

(Ⅰ) 若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

（Ⅱ）当
时，求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）某市公租房的房源位于
三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:

(Ⅰ)恰有2人申请片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数
的分布列和期望.

20．（本小题满分13分）已知函数
的定义域为
.

（I）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

21．（本小题满分14分）已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，短轴两个端点为、，且四边形
是边长为2的正方形.

（I）求椭圆方程；

（Ⅱ）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点，证明：
为定值；

（III）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

B

C

A

A

B

D

C



二、填空题:

11．-1； 12．2； 13．
； 14．
; 15．A.
； B．
； C．
．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)

.

∴函数
的最大值为.要使
取最大值，则

，解得
.

故的取值集合为
. ………6分

（Ⅱ）由题意，
，化简得

，
，∴
， ∴

在
中，根据余弦定理，得
.

由
，知
，即
.

∴当
时，实数取最小值
………12分

17. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)证明：由
知，当
时：
，

即
，∴
，对
成立.

又
是首项为1，公差为1的等差数列.

，∴
. ………6分

（Ⅱ）
，………8分

∴

=
. ………12分

18．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ) 证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．

因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．……… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（
，
），因为 点D在线段AB上，且
，即
．

所以
，
，
，
, ,
．

平面BCD的法向量为
． 设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
，
.所以
．

所以二面角
的余弦值为
．……… 12分

19. （本小题满分12分）

解: (Ⅰ)所有可能的申请方式有
种, 恰有2人申请片区房源的申请方式有
种,

从而恰有2人申请片区房源的概率为
， ……… 5分

（Ⅱ）
的所有可能值为
，

,
，
，



















综上知,
的分布列为

从而有
. ……… 12分

20. （本小题满分13分）

……… 1分

……… 3分

（I）

, ……… 5分

……… 7分

……… 9分

，