辽宁省锦州市2014届高三第一次质量检测

数学（理）试题

注意事项：

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共 150 分。第域卷第（22）、（23）、（24）题为选考题，其他题为必考题，考试时间：120 分钟。

参考公式：球的表面积公式：S=4
R2，球的体积公式：V=

R2，其中 R 表示球的半径。

第I卷（选择题 共 60 分）

一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分援 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的援

（1）在复平面内，复数
对应的点的坐标为

（A）（-1，1） （B）（1，1） （C）（1，-1） （D）（-1，-1）

（2）设全集U=R，
，则如图中阴影部分表示的集合为

（3）设平面向量
等于

（A）4 （B）5 （C）3
（D）4

（8）执行如图所示的程序框图，输出的结果是
，则判断框内应填入的条件是

（9）已知函数
，则下列结

论正确的是

（A）两个函数的图象均关于点（—
，0）成中心对称

（B）淤的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 2 倍，再向

右平移
个单位即得于

（C）两个函数在区间（—
，
）上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

（10）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，

如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为

（A）29
（B）30

（C）

（D）216

第II卷 非选择题，共 90 分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题—第（21）题为必考题，每个试题考生都

必须作答。第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．

直线l 交y 轴于点 P，交椭圆于点 Q，若△AOP是等腰三角

形，且
=2
，则椭圆的离心率为 ______．

（16）下列命题：

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分 12 分）

已知数列{
}的前 n 项和 Sn 满足
（p 为大于 0 的常数），且 a1 是 6a3 与 a2的等差中项。

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若 an·bn=2n+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

（19）（本小题满分 12 分）

一个袋子内装有2 个绿球，3 个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取 2 个球，每取得 1 个绿球得5 分，每取得1 个黄球得 2分，每取得 1 个红球得l分，用随机变量X 表示取 2 个球的总得分，已知得 2 分的概率为16 .

（I）求袋子内红球的个数；

（II）求随机变量并的分布列和数学期望.

（21）（本小题满分 12 分）

已知函数

（I）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b 的取值范围；

（II）若函数 f（x）在定义域上是单调函数，求实数 a的取值范围；

（III）当

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲

如图所示，已知 PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点 P的割线交

圆于 B、C 两点，弦 CD//AP，AD、BC 相交于点 E，F为 CE 上一

点，且 DE2=EF·EC.

（I）求证：CE·EB=EF·EP；

（II）若 CE颐BE=3：2，DE=3，EF=2，求 PA 的长.

（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系下，已知圆

（I）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系援求圆 O和直线 l的直角坐标方程；

（II）当
时，求直线 l 与圆 O公共点的一个极坐标。

（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲

设函数

（I）解不等式
；

（II）已知关于 x的不等式 a+3

2014年高三质量检测

数学（理）参考答案

一、选择题：（1）-（12）ABDBC CBACA AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）
，

（14）37 （15）
（16）①②

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解答：

解：（I）当n=1时，
，得
．

当n≥2时，
，

，

两式相减得an=pan﹣1，即
．

故{an}是首项为
，公比为p的等比数列，

∴
．

由题意可得：2a1=6a3+a2，
，

化为6p2+p﹣2=0．

解得p=
或
（舍去）．

∴
=
． --------------------------------------------(6分)

（II）由（I）得
，

则
，

+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，

两式相减得﹣Tn=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1

=

=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，

∴
． --------------------------------------------（12分）



　

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)证明： 因为
平面
，

所以
.

因为
是正方形，

所以
，

所以
平面
,

从而

-----------------（4分）

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，

所以建立空间直角坐标系
如图所示.

设
，可知
.

则
,
，
，
，
，
，

所以
，
，

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

.

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. -----------（8分）

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
.

则
，

因为
平面
，

所以

，

即
，解得
.

此时，点
坐标为
，
，符合题意. -------------（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设袋中红球的个数为n个，p（ξ=0）=
=
，化简得：n2﹣3n﹣4=0，

解得n=4 或n=﹣1 （舍去），即袋子中有4个红球. ---------------------------------(6分)

（Ⅱ）依题意：X=2，3，4，6，7，10．

p（X=2）=
，p（X=3）=
=
，p（X=4）=
=
，

p（X=6）=
=
，p（X=7）=
=
，p（X=10）=
=
，

X的分布列为：

∴EX=2×
+3×
+4×
+6×
+7×
+10×
=
．----------------------------（12分）



20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，

∴x2+x﹣xlnx）≥bx2+2x恒成立?1﹣
﹣
≥b，

令g（x）=1﹣
﹣
，可得g（x）在（0，1]上递减，

在[1，∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，

即b≤0. ----------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），

令f′（x）≥0得：2a≥
，设h（x）=
，当x=e时，h（x）max=
，

∴当a≥
时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）

若0＜a＜
，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣
，

g′（x）=0，x=
，x∈（0，
），g′（x）＜0，x∈（
，+∞），g′（x）＞0，

∴x=
时取得极小值，即最小值．

而当0＜a＜
时，g（
）=1﹣ln
＜0，

f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调

∴a≥
.---------------------------------------------------------------（8分）

（Ⅲ）由（I）知g（x）=1﹣
在（0，1）上单调递减，

∴
＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即
＜

而
＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0，

∴1+lnx＞0，

∴
＜
.------------------------------------------------------------（12分）



22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，

∴△DEF∽△CED，

∴∠EDF=∠C．

又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，

∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA

∴△EDF∽△EPA．

∴
，∴EA?ED=EF?EP．

又∵EA?ED=CE?EB，

∴CE?EB=EF?EP .-------------------------------------------------（5分）

（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．

∴32=2EC，∴
．

∵CE：BE=3：2，∴BE=3．

由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴
，解得EP=
，

∴BP=EP﹣EB=
．

∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，

∴
，解得
．----------------------------------（10分）



23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解答：

解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．

直线
，即ρsinθ
﹣ρcosθ
=
，

也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．

则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．-----------------------（5分）

（Ⅱ）由
，得
．

故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为
．---------------（10分）



　

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=
，

∵f（x）＞0，

∴①当x＜﹣
时，﹣x﹣4＞0，

∴x＜﹣4；

②当﹣
≤x≤3时，3x﹣2＞0，

∴
＜x≤3；

③当x＞3时，x+4＞0，

∴x＞3．

综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（
，+∞）------------------------（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
，

∴当x≤﹣
时，﹣x﹣4≥﹣
；

当﹣
＜x＜3时，﹣
＜3x﹣2＜7；

当x≥3时，x+4≥7，

综上所述，f（x）≥﹣
．

∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，

∴a＜f（x）﹣3恒成立，

令g（x）=f（x）﹣3，则g（x）≥﹣
．

∴g（x）min=﹣
．

∴a＜g（x）min=﹣
------------------------------------------------（10 分）