2014年咸阳市高考模拟考试试题（二）

理 科 数 学 参 考 答 案

一．选择题

二．填空题

11.
12.
13.
14.

14题解析 由题可知抛物线的方程为
，设小球的截面圆心为
,抛物线上点
，点
到圆心距离平方为

在
时取到最小值，则小球触及杯底,所以
,得
,即
,故当玻璃球的半径最大取时，才能使玻璃球触及杯底.

15.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.

17.（本小题满分12分）

解：（1）依题意得
，即

解得
（
不合要求，舍去）.

∴
.

在数列
中,由
，得

即数列
是首项为
2，公比为2的等比数列．

得

即
……………………………………6分

（2）由(1) 得

∴

相减得

整理得
……………………………………12分

18. （本小题满分12分）

（1）证明：∵平面
平面
,

∴
平面

而
平面
∴

又
, ∴
平面
……………………6分

(2)解法1:设
,过点
作
于,连接
,

易证
,即
是二面角
的平面角

在
中,
,得
,

所以
,即平面
与平面
夹角的大小为
.……………………12分

解法2：取为原点，直线
分别为轴和轴，建立如图所示的坐标系
，则

∴

设
是平面
的法向量，则由

得
，取
，

由（1）
平面
知平面
的一个法向量

∴
，得
，

可知平面
与平面
夹角的大小为
.……………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）依题意知：
，解得
，

即椭圆
. ……………………5分

(2)解法1：由题意知，直线
与直线
的斜率均存在且不为
，设
，
,

设直线
的方程为：
,直线
的方程为：

由
联立消去整理可得：
，

容易知
恒成立，所以
，

由韦达定理得：
，所以
，代人
可得：
，所以
，同理可得：
,

当
轴时，
，解得
，此时直线
方程为
，知直线

过点
；

当直线
与轴斜交时，直线
的方程为：
，化简可得：
知直线
过定点
.

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

解法2：显然符合条件的直线
存在，且斜率不为
，设直线
，
，

，则由
及
得

化简得
①

即

依题意
，即

，代入①得

化简得
，解得
或
（舍去）

此时直线
，过定点

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

解法3：设直线
，则由
及
得

化简得
①

即

依题意
，即

，代入①得

化简得
，解得
或

当
时，直线
，过点
，不合理，舍去；

当
时，直线
，过定点
.

当直线
轴时，易得直线
，也过定点
.

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

20.（本小题满分13分）

解:（1）设A队得分为1分的事件为
,

∴
.……………………5分

（2）
的可能取值为

，

,

∴
的分布列为:

于是
,

∵
, ∴
.

由于
, 故B队比A队实力较强. ……………………13分

21.（本小题满分14分）

解: 由
得

(1)依题意得
,即
……………………3分

(2)当
时,
,知函数
在
递增;

当
时,
,由
得
,由
得

即函数
在
递增,在
上递减. ……………………9分

(3)由(1) 知
,得

对于任意的
，
可化为

其中

,其中

,即

由(2)知, 函数
在
递减,且
,于是上式成立

故对于任意的
，
成立. ……………………14分