2014年大连市高三第一次模拟考试

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.B 2.D 3.C 4.A 5. A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.C 12.A

二．填空题

13.

14.

15.

16.

三．解答题

解得
………………4分

所以
………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

+
①

①
得

②……8分

①-②得

， ………………10分

整理得
． ………………12分

18.解：

（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在
之间的频率为0.3，

所以
即
………………4分

（Ⅱ）由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为0.4，

所以三人中每人是“生产之星”的概率都是
………………6分

X的取值为0,1,2,3，由题知X~

所以X的分布列为

0

1

2

3















 ………………10分

所以
=
． ………………12分

19.证明：

（Ⅰ）取
中点
，连接
。∵
，
中点
，

∴
。∵
是等腰直角三角形，
是
中点，

∴
，
∥
。∵
,
,∴
，…………4分

，
平面
，
平面
，

∴
平面
。
平面
，∴
。

∵
平面
，
平面
，
和
相交，

∴
平面
。 ……………6分

（Ⅱ）解法一：连接
，由勾股定理可知
。

建立如图所示的空间直角坐标系，设
=2，

则点
，
，
，
，

………………8分

设平面
的法向量
，平面
的法向量
。

。

所以平面
的一个法向量为
。

所以平面
的一个法向量为
………………10分

所以
………………12分

解法二：延长
交于
，由(1)知
平面
,

过
作
，交
于
,可得
平面
.

令
，可求
连接
,过作

交
于
，可得
平面
,因为
所以

过作
,交
于，连接
,可求

所以
为所求二面角的平面角， …………………9分

所以
所以
………………12分

20. 解：

（Ⅰ）
的焦点为
，设
，
，
的中点
。

的方程为：
。

联立方程组
化简得：
，得
。

，
，

中点的轨迹方程：
。 ………………4分

（Ⅱ）设
，则直线
的方程为：
，

当
时，
。即
点横坐标为
，

同理可得
点横坐标为
。 ………………8分

所以
=

………12分

21. （Ⅰ）证明：

，则
，设
，则
， ………………………2分

当
时，
，即
为增函数，所以
，

即
在
时为增函数，所以
………………………4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
时，
，
，所以
， ………………………6分

设
，则
，设
，则
，

当
时
，所以
为增函数，所以
，所以
为增函数，所以
，所以
对任意的
恒成立. ………………………8分

又
，
时，
，所以
时
对任意的
恒成立. ………………………9分

当
时，设
，则
，

，所以存在实数
，使得任意
，均有
，所以
在
为减函数，所以在
时
，所以
时不符合题意.

综上，实数的取值范围为
. …………………………12分

（Ⅱ）解法二：因为
等价于
…………6分

设
，

则

可求
， ……………………………8分

所以当
时，
恒成立，
在
是增函数，

所以
，即
，即

所以
时，
对任意
恒成立。……………………………9分

当
时，一定存在
，满足在
时，
，所以
在
是减函数，

此时一定有
，即
，即
，不符合题意，故
不能满足题意，

综上所述，
时，
对任意
恒成立。……………………12分

22．（Ⅰ）证明：连接
，∵
，

∴
，又∵
，

∴△
∽△
，∴
，

∵
，
，又∵
是⊙
的直径，

∴
,
，

∴
是⊙
的切线。 ………………………………5分

（Ⅱ）解：∵
、
是⊙
的切线，∴
，∴
，∴
，

∵
，∴△
∽△
，∴
，
，

∴⊙
的半径为2. ……………………………10分

23. 解：

（Ⅰ）由
的参数方程消去参数得普通方程为

圆
的直角坐标方程
,

所以圆心的直角坐标为
，

所以圆心的一个极坐标为
……………………………5分

(答案不唯一，只要符合要求就给分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
到直线
的距离

所以
………………………………10分