2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷（理科）2014.3

特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有 一项是符合题目要求的）

（1）已知复数
（
是虚数单位），则复数
的虚部为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）

（2）已知条件
：
是两条直线的夹角，条件
：
是第一象限的角。则“条件
”是“条件
”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

甲组



乙组



2

9

11[来源:学_科_网Z_X_X_K]

6

6







4

12

5



8



7

4

13

4







（3）（原创）以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则
、
的值分别为（ ）

（A）4、5 （B）5、4

（C）4、4 （D）5、5

（4）（原创）已知实数
满足
，则
的值域为（ ）[来源:学科网ZXXK]

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知一个四面体的一条棱长为
，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）

（A）1 （B）
（C）
（D）3

（7）已知函数
的图像与
轴恰好有三个不同的公共点，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）执行如右图所示的程序框图，则输出的
的值等于（ ）

（A）13

（B）15

（C）36

（D）49

（9）
（ ）

（A）
（B）2 （C）
（D）4

（
10）（原创）已知
分别是
的三边
上的点，且满足
，
，
，
，
。则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上）

（11）正项等比数列
中，
，则
。

（12）已知集合
，集合
，则集合
。

（13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周
日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是 （用数字作答）。[来源:学+科+网]

特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）（原创）如图，在
中，
，
，
，
是
的中点，
于
，
的延长线交
的外接
圆于
，则
的长为 。

（15）在直角坐标系
中，以
为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点
，若极坐标方程为
的曲线与直线
（
为参数）相交于
、
两点，则
。

（16）若关于实数
的不等式
无解，则实数
的取值范围是 。

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

（17）（本小题满分13分，⑴小问6分，⑵小问7分）设
，其中
，曲线
在点
处的切线与直线
：
平行。⑴确定
的值； ⑵求函数
的单调区间。

（18）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换，求：⑴小张恰有4张VCD光盘的概率；⑵小张的DVD光盘张数
的分布列与期望。

（19）（本小题满分13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）如图，在四面体
中，
平面
，
，
，
。
是
的中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
。⑴证明:
平面
；⑵若异面直线
与
所成的角为
，二面角
的大小为
，求
的值。

（20）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）在
中，内角
、
、
的对
边分别是
、
、
，且
。⑴求角
的大小；⑵设
，求
的面积
。

（21）（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）如图所示，椭圆
：
的左右焦点分别为
，椭圆
上的点到
的距离之差的最大值为2，且其离心率
是方程
的根。⑴求椭圆
的方程；⑵过左焦点
的直线
与椭圆
相交于
两点，与圆
相交于
两点，求
的最小值，以及取得最小值时直线
的方程。

（22）（本小题满分12分，
⑴小问3分，⑵小问4分，⑶小问5分）（原创）在数列
中，已知
，
，其前
项和
满足
。⑴求
的值；⑵求
的表达式；⑶对于任意的正整数
，求证：
。

命题人：薛廷兵 审题人：梁 波

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考

数 学 答 案（理科）2014.3

一．选择题：BDACB ACD
CD

二．填空题：11．12；12．
；13．
；14．
；15．2；16．

17．解：⑴由题
，故
。因直线
的斜率为
，故
，从而
；

⑵
，由
得
或
，由
得
。故
的单增区间为
和

，单减区间为
。

2

3

4













 18．解：⑴记事件
为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换”，事件
为“小张和小王各拿一张DCD光盘交换”，则
互斥，且
，
，故所求概率为
；

⑵
所有可能取值为
，且
，
，
。故
的分布列如右表，
的期望
。

19．法一：⑴如图，连
并延长交
于
，连
，过
作
交
于
，则
，
。故
，从而
。因
平面
，
平面
，故
平面
；

⑵过
作
于
，作
于
，连
。因
平面
，故平面
平面
，故
平面
，因此

，从而
平面
，所以
即为二面角
的平面角。因
，故
，因此
即为
的角平分线。由⑴易知
，故
，从而
，
。由题易知
平面
，故

。由题
，故
。所以

，从而
。

法二：如图建立空间直
角坐标系，则
，
，
，