2014年石景山区高三统一测试

数学（理科）

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么
（ ）

A．



B．





C．



D．





2．下列函数中，在
内单调递减，并且是偶函数的是（ ）

A．

B．

C．

D．



3．在
的展开式中，
的系数为（ ）

A．

B．

C．

D．



4．已知
△
中，

以
为直径的圆交
于
，则
的长为（ ）

A．

B．



C．

D．





5． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为
的点到焦点的距离

为
，则焦点到准线的距离为（ ）

A．

B．

C．

D．



6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）

A．

B．



C．

D．





7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，

输出的结果为（ ）

A．

B．



C．

D．





8．已知动点
在椭圆
上，
为椭圆
的右焦点，若点
满足
且
，则
的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．



第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知命题
:
，则
是____________________．

10．在等比数列
中，
，则数列
的通项公式
_____________，设
，则数列
的前
项和
_____________．

11．已知圆
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆
的直角坐标方程为_______________，若直线
与圆
相切，则实数
的值为_____________．

12．已知变量
满足约束条件
则
的取值范围是_________.

13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
个专业中，选择
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

14．若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知函数
和函数
，那么函数
和函数
的隔离直线方程为_________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在△
中，角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
边的长和△
的面积.

16．（本小题满分13分）

经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出
条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：













《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过
ppm．

（Ⅰ）检查人员从这
条鱼中，随机抽出
条，求
条中恰有
条汞含量超标的概率；

（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选
条鱼，记
表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此
条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求
的分布列及数学期望
．

17.（本小题满分14分）

如图，正三棱柱
的底面边长是
，侧棱长是
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使得平面

平面
，若存在，

求出
的长；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分13分）

设函数
.

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）过坐标原点
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.

19．（本小题满分14分）

给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点
是椭圆
的“准圆”上的动点，过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.

（ⅰ）当点
为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线
的方程并证明
；

（ⅱ）求证：线段
的长为定值.

20．（本小题满分13分）

对于数列
，把
作为新数列
的第一项，把
或
（
）作为新数列
的第
项，数列
称为数列
的一个生成数列．例如，数列
的一个生成数列是
．

已知数列
为数列
的生成数列，
为数列
的前
项和．

（Ⅰ）写出
的所有可能值；

（Ⅱ）若生成数列
满足
，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）证明：对于给定的
，
的所有可能值组成的集合为

．

2014年石景山区高三统一测试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

D

D

B

C

A



二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，

第二空3分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案




；


；



，







三、解

答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以
， ……………2分

因为
，所以
，

所以
， 　　　 …………… 4分

因为
，且
，所以
． ……………6分

（Ⅱ）因为
，
，

所以由余弦定理得
，即
，

解得
或
（舍），

所以
边的长为
. ……………10分

． ……………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）记“
条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标”为事件
，则

，

条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标的概率为
.　 　……………4分

（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率
， ………5分

可能取
，
，
，
.　　　　　　　　　　　　 　　　　　……………6分

则
，
，

，
．…………10分

其分布列如下：

0

1

2

3















……………12分

所以
. ……………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连结
交
于
，连结
，

因为三棱柱
是正三棱柱，

所以四边形
是矩形，

所以
为
的中点．

因为
是
的中点，

所以
是三角形
的中位线， ……………2分

所以
∥
． ……………3分

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ……………4分

（Ⅱ）解：作
于
，所以
平面
，

所以在正三棱柱
中如图建立空间直角坐标系
．

因为
，
，
是
的中点．

所以
，
，
，