2014年石景山区高三统一测试

数学（文科）

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么
（ ）

A．



B．





C．



D．





2．下列函数中，在
内单调递减，并且是偶函数的是（ ）

A．

B．



C．

D．



3．直线
与圆
的位置关系是（ ）

A．相交

B．相切

C．相离

D．无法确定



4．双曲线

的渐近线方程是
，则其离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．



5．下列函数中周期为且图象关于直线
对称的函数是（ ）

A．



B．





C．



D．





6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（ ）

A．

B．



C．

D．





7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，

输出的结果为（ ）

A．

B．



C．

D．





8．已知动点
在椭圆
上，为椭圆
的右焦点，若点
满足
且
，则
的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．是虚数单位，计算
_________.

10．在等比数列
中，
，则数列
的通项公式
_____________，设
，则数列
的前项和
_____________．

11．已知命题:
，则
是____________________．

12．已知变量
满足约束条件
则
的最大值是_________.

13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时
元. 当速度为
海里/小时时，每小时的燃料费是元. 若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.

14．若存在实常数和,使得函数
和
对其定义域内的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知函数
和函数
，那么函数
和函数
的隔离直线方程为_________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在△
中，角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，
，求边的长和△
的面积.

16．（本小题满分13分）

某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

（Ⅰ）求分数在
的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在
之间的频数，并计算频率分布直方图中
间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在
之间的概率．

17.（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
，
，
，

平面
，
∥
，为
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求四棱锥
的体积．

18．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
在
上没有零点，求实数的取值范围．

19．（本小题满分14分）

给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点是椭圆
的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.

（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线
的方程并证明
；

（ⅱ）求证：线段
的长为定值.

20．（本小题满分13分）

对于数列
，把
作为新数列
的第一项，把
或
（
）作为新数列
的第项，数列
称为数列
的一个生成数列．例如，数列
的一个生成数列是
．

已知数列
为数列
的生成数列，
为数列
的前项和．

（Ⅰ）写出
的所有可能值；

（Ⅱ）若生成数列
满足的通项公式为
，求
.

2014年石景山区高三统一测试

高三数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

D

B

B

C

A



二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，

第二空3分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案




；











三、解

答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以
， ………………2分

因为
，所以
，

所以
， ………………4分

因为
，且
，所以
． ………………6分

（Ⅱ）因为
，
，

所以由余弦定理得
，即
，

………………8分

解得
或
（舍），

所以边的长为
． ………………10分

． ………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）分数在
的频率为
， ………………2分

由茎叶图知：分数在
之间的频数为，所以全班人数为
. ………………4分

（Ⅱ）分数在
之间的频数为
；

频率分布直方图中
间的矩形的高为
.……………7分

（Ⅲ）将
之间的
个分数编号为
,
之间的个分数编号为
， ………………8分

在
之间的试卷中任取两份的基本事件为：

共
个， ………………10分

其中，至少有一个在
之间的基本事件有
个，

故至少有一份分数在
之间的概率是
. ……………13分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）取
中点，连结
，
，

分别是
，
的中点，

∥
，且
.

∥
， ………………2分

与
平行且相等.

四边形
为平行四边形，

∥
. ………………3分

又
平面
，
平面
.

∥平面
. ………………4分

（Ⅱ）
为等边三角形，
为
的中点，

. ………………5分

又
平面
，
平面
.

， ………………6分

又
，

平面
. ………………7分

∥
，
平面
， ………………8分

平面
，

平面
平面
. ………………10分

（Ⅲ）取
中点,连结
.

,

.

平面
，
平面

，

又
，

平面
，

是四棱锥
的高，且
， ………………12分

. ………………14分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
的定义域为
. ………………1分

. ………………2分

在
处取得极值，

，解得
或
（舍）. ………………3分

当
时，
，
；
，
，

所以的值为. ………………4分

（Ⅱ）令
，解得
或
（舍）. ………………5分

当在
内变化时，
的变化情况如下：





















↘

极小值

↗



由上表知
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ……………8分

（Ⅲ）要使
在
上没有零点，只需在
上
或