延庆县2013—2014学年度高考模拟检测试卷

高三数学（理科） 2014.3

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若集合
，
，则
=

A.
B．
C．
D．

2. 复数
在复平面上所对应的点
位于

A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限

3. 设
是等差数列
的前
项和，已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

4. 执行右边的程序框图，则输出的
值等于

A.

B.

C.

D.

正三角形
中，
是边
上的点，若
，则
=

A.
B．
C．
D．

6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体

的体积是

A.
B.

C.
D.

7. 同时具有性质“①最小正周期是
，②图像关于
对称，③在
上是增函数”的一个函数是

A.
B.

C.
D.

8. 对于函数
，(
是实常数),下列结论正确的一个是

A.
时,
有极大值，且极大值点

B.
时,
有极小值，且极小值点

C.
时,
有极小值，且极小值点

D.
时,
有极大值，且极大值点

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.

9．设
是常数，若点
是双曲线
的一个焦点，则
= .

10. 圆
的半径为
，
是圆
外一点，
,
是

圆
的切线，
是切点，则
.

11. 甲从点
出发先向东行走了
，又向北行走了
到达点
，乙从点
出发向北偏西
方向行走了
到达点
，则
两点间的距离为 .

12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有

且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 .

13. 若
为不等式组
表示的平面区域，则
的面积为 ；当
的值从
连续变化到
时，动直线
扫过的
中的那部分区域的面积为 .

14. 已知条件

不是等边三角形，给出下列条件：

①
的三个内角不全是
②
的三个内角全不是

③
至多有一个内角为
④
至少有两个内角不为

则其中是
的充要条件的是 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分）

在三角形
中，角
所对的边分别为
,且
，
,
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积.

16.（本小题满分14分）

在四棱锥
中，
平面
，底面

是正方形，且
，
分别是棱
的中点.

(Ⅰ) 求证:
平面
；

（Ⅱ）求证:
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

17. （本小题满分13分）

对甲、乙两名篮球运动员分别在
场比赛中的得

分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，

列出乙的得分统计表如下：

(Ⅰ) 估计甲在一场比赛中得分不低于
分的概率；

（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）

（Ⅲ）在乙所进行的
场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出
场比赛，再从这
场比赛中随机选出
场作进一步分析，记这
场比赛中得分不低于
分的场数为
，求
的分布列.

18. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

(Ⅰ) 求
的单调区间；

（Ⅱ）曲线
在
处的切线方程为
，且
与
轴有且只有一个公共点，求
的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知直线
经过椭圆
的左顶点
和上顶点
，椭圆
的右顶点为
，点
是椭圆上位于
轴上方的

动点，直线
,
与直线
分别交于
两点.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求线段
的长度的最小值.

20. （本小题满分13分）

对于项数为
的有穷数列
，记
，即
为
中的最大值，并称数列
是
的“控制数列”，如
的控制数列为
.

(Ⅰ) 若各项均为正整数的数列
的控制数列为
，写出所有的
；

(Ⅱ) 设
是
的控制数列，满足
为常数
），

求证：
；

(Ⅲ) 设
，常数
，若
，
是
的

控制数列，求
的值.

延庆县2013—2014学年度一模统一考试

高三数学（理科答案） 2014年3月

一、选择题：

D B C C B A C C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
10.
11.
12.
13.
；
14.①③④

三、解答题：

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

，

…………1分

…………2分

…………4分

…………6分

（Ⅱ）

…………8分

，

…………10分

， …………11分

………………13分

16.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：设
是
的中点,连接

∵
分别是
的中点, ∴
,

∴
，∴
是平行四边形，∴
………2分

∵
平面

平面
,

∴
平面
………3分

（Ⅱ）∵
, ∴
, ………4分

∵
, ∴
,

又∵
, ∴
平面
,

∴
, ………6分

∵
与
相交, ∴
平面
,

∴
平面
. ………7分

(Ⅲ) 以
分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系
，

………8分

∵
, ∴
，
，
，

设
是
的中点,连接
∵
平面
,

∴同理可证
平面
,∴
是平面
的法向量，

………9分

,

设平面
的法向量
，则

∴
令
，则

∴
………12分

∴
. ………13分

∴二面角
的大小为
………14分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
………2分

（Ⅱ）甲更稳定， ………5分

(Ⅲ)按照分层抽样法,在

内抽出的比赛场数分别 为
, ………6分

的取值为
， ………7分

， ………9分

， ………10分

, ………11分

的分布列为：



















 ………13分

18. （本小题满分13分）

解： (Ⅰ)
， ………1分

(1) 当
时，
恒成立，此时
在
上是增函数，…2分

（2）当