湖南省岳阳县一中2014届高三第四次阶段考试

理 科 数 学

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q=
，则P*Q的元素的个数为 （ ）

A．4个 B．7个 C．10个 D． 12个

2、已知平面上三个点A、B、C满足
，则
的值等于 （ ）

A．25 B．24 C．-25 D．-24

3、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是 （ ）

A.
B.

C.
D.

4、在平面直角坐标系中，若不等式组
（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 （ ）

A．-5 B．1 C．2 D．3

5、如果直线
与圆C：
有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是 （ ）

A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定

6、当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知函数
在R上满足
，则曲线
在点
处的切线方程是 （） （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8、定义域是一切实数的函数
，其图像是连续不断的，且存在常数
使得

对任意实数
都成立，则称
是一个“
—伴随函数”． 有下列关于“
—伴随函数”的结论：①
是常数函数中唯一一个“
—伴随函数”；②“
—伴随函数”至少有一个零点．；③
是一个“
—伴随函数”；

其中正确结论的个数是 （ ）

A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

9、已知
是方程
的两根，
，则

10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为

11、设
是公差为正数的等差数列，若
等于

12、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围

13、已知点M是抛物线
上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆

上，则|AM|+|MF|的最小值为

14、设
是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若
，则
中数字0的个数为 　 　　．

15、将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若
表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足

则（1）f（3）= ；（2）f（2013）= 。

三、解答题（16、17、18题各12分，19、20、21题各13分）

16、（满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足
．

（1）求角A的大小；

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

（1）线段BC上存在点Q，使PQ⊥QD，求
的取值范围；

（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值。

18、（满分12分）已知等差数列
的首项
，公差
．且
分别是等比数
的
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列
对任意自然数
均有：
成立．求
的值．

19、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．

（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值．

20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆
的左、右焦点，O为坐标原点，点
在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足
；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的

两点A、B. 当
，且满足
时，求△AOB面积S的取值范围.

21、（满分13分）设函数
在
上的最大值为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：对任何正整数
，都有
成立；

（3）若数列
的前
之和为
，证明：对任意正整数
都有
成立.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q=
，则P*Q的元素的个数为 （ C ）

A．4个 B．7个 C．10个 D． 12个

2、已知平面上三个点A、B、C满足
，则
的值等于 （ C ）

A．25 B．24 C．-25 D．-24

3、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是 （ B）

A.
B.

C.
D.

4、在平面直角坐标系中，若不等式组
（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 （ D ）

A．-5 B．1 C．2 D．3

5、如果直线
与圆C：
有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是 （ C ）

A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定

6、当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 （ A ）

A．
B．
C．
D．

7、已知函数
在R上满足
，则曲线
在点
处的切线方程是 （） （ A ）

（A）
（B）
（C）
（D）

[解析]：由
得
，

即
，∴
∴
，∴切线方程为

，即
选A(也可以不求解析式直接做出来,会更容易些!)

8、定义域是一切实数的函数
，其图像是连续不断的，且存在常数
使得

对任意实数
都成立，则称
是一个“
—伴随函数”． 有下列关于“
—伴随函数”的结论：①
是常数函数中唯一一个“
—伴随函数”；

②“
—伴随函数”至少有一个零点．；③
是一个“
—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （A ）

A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．

9、已知
是方程
的两根，
，则

10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为
.

【解析】该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，可将其补形成一个长方体，

半径为
，体积为
.

（也可直接找到球心，求出半径解决问题）

11、设
是公差为正数的等差数列，若
等于 105

12、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 （5，7）

13、已知点M是抛物线
上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆
上，则|AM|+|MF|的最小值为 4

14、设
是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若
，则
中数字0的个数为 　11　　．

15、将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若
表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足

则（1）f（3）=
；（2）f（2013）=
。

16、（满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

解答 （Ⅰ）由已知
， 2分

由余弦定理
得
，∴
， 4分

∵
，∴
． 6分

（Ⅱ）∵
，∴
，
.

． 8分

∵
，∴
，

∴当
，
取最大值
，解得
． 12分

17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

（1）线段BC上存在点Q，使PQ⊥QD，求
的取值范围；

（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值。

解法1：（Ⅰ）如图，连
，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，

必有
．

设
，则
，

在
中，有
．

在
中，有
．

在
中，有
．

即
，即
．

∴

故
的取值范围为
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
，
时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），

使PQ⊥QD，过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．

在等腰直角三角形
中，可求得
，又
，进而
．

∴
．

故二面角A－PD－Q的余弦值为
．

解法2：（Ⅰ）以
为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，则

B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），

P（0，0，4），

设Q（t，2，0）（
），则

＝（t，2，－4），

＝（t－a，2，0）．

∵PQ⊥QD，∴
＝0．

即
．∴
．

故
的取值范围为
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
，
时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．

设
是平面
的法向量，

由
，得
．

取
，则
是平面
的一个法向量．

而
是平面
的一个法向量，

．

∴二面角A－PD－Q的余弦值为
．

18、（满分12分）已知等差数列
的首项
，公差
．且
分别是等比数
的
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列
对任意自然数
均有：
成立．求
的值．

解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d

　　　　　　且a2、a5、a14成等比数列

∴

∴
…………………3分

又∵
.　　∴
……6分

　　　（2）∵
①

∴
　即

又
②

①－②：
　　∴

∴
…………………10分

∴

…………………12分

19、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．

（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值．

解：（1）在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．

同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC

＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA． ………… 3分

即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA．　

解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　　 ………………………6分

（2）四边形ABCD的面积

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]．　

＝x(7－x)＝＝．………… 9分

记g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．

由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ……………………… 11分

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．

所以S的最大值为＝6．

答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2． ……………………… 13分

20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆
的左、右焦点，O为坐标原点，点
在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足
；

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的

两点A、B. 当
，且满足
时，求△AOB面积S的取值范围.

解：（Ⅰ）
∴点M是线段PF2的中点

∴OM是△PF1F2的中位线 ,

又OM⊥F1F2 ∴PF1⊥F1F2

∴椭圆的标准方程为
=1 5分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切

由

∵直线l与椭圆交于两个不同点，

, 设
，则

，

解得：
8分

13分

21、（满分13分）设函数
在
上的最大值为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：对任何正整数
，都有
成立；

（3）若数列
的前
之和为
，证明：对任意正整数
都有
成立.

【解析】（1）由

当
时，由
得
或

当
时，
，
，则

当
时，
，则

当
时，
，

而当
时
，当
时
，

故函数
在
处取得最大值，

即：

综上：
。。。。。。。。。。。。6分

（2）当
时，要证
，即证
，

而

故不等式成立. 。。。。。。。。。。。。。。。10分

（3）当
时结论成立；

当
时，由（2）的证明可知：

，

从而
。。。。。。。。。。。13分