2014年高中毕业年级第二次质量预测

理科数学 参考答案

选择题

BADC CABD BCDA

填空题

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解（Ⅰ）由已知，令
可得
，------2分

因为
，所以
．------5分

（Ⅱ）
，------6分

①

②

由①-②得：
------8分

即：
------10分

整理可得：
------12分

18． 解（Ⅰ）如图(2):在
中,由E、F分别是AC、BC的中点，所以EF//AB，

又
平面DEF,
平面DEF，

∴
平面DEF． ------4分

（Ⅱ）以点D为坐标原点,以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系． 则

设
，则
， –---7分

注意到
，

∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DE． ------9分

（Ⅲ）平面CDF的法向量
，设平面EDF的法向量为
，

则
即
取
，----10分

，

所以二面角E-DF-C的平面角的余弦值为
． ---12分

19．解（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件,

则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是
------3分

由对立事件的概率:
=
即
，解得
------5分

（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故可能取值分别为
， -----6分

------7分
，------9分

，则的分布列为：



















 ------11分

所以
．------12分

20．解（Ⅰ）由题知
，且
，
， 则
，--------2分

整理得,曲线
的方程为
．-----------5分

（Ⅱ）设
与轴交于
，则直线
的方程为
，

　记
，由对称性知
，

　由
消得：
，-----7分

　所以
，且
，

　故
------------9分

　由
三点共线知
，即
，

　所以
,整理得
，----10分

所以
，即
，
，

所以直线
过定点
，同理可得直线
也过定点
，

即四边形
两条对角线的交点是定点，且定点坐标为
．--------12分

21．解（Ⅰ）由题知
，当
时，
，当
时，
，----3分

所以函数
的增区间为
，减区间为
，

其极大值为
，无极小值．-----------5分

（Ⅱ）由题知
， 当
时，因为
，由⑴知函数在
单调递增，

所以
，符合题意；-------7分

当
时，取
，可得
，这与函数在
单调递增不符；9分

当
时，因为
，由⑴知函数
在
单调递减，

所以
，即只需证
，即证
，

即
，
，令
，

则
对
恒成立，

所以
为
上的减函数，所以
，

所以
，符合题意．-------11分

综上：
为所求．------------12分

22．解（Ⅰ）如图，连结
，由
为直径可知
，

又
，所以
，

因此
四点共圆． ------4分

（Ⅱ）连结
，由
四点共圆，

所以
，------6分

在
中，
，------8分

又由
知
，所以
，
．---10分

23．解（Ⅰ）圆
，即
，

故圆
的直角坐标方程为：
，------2分

直线
，即
，

则直线
的直角坐标方程为：
．------4分

（Ⅱ）由⑴知圆
与直线
的直角坐标方程，

将两方程联立得
，解得
，------6分

即圆
与直线
在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分

将（0,1）转化为极坐标为
，即为所求．------10分

24．解 （Ⅰ）由
化简可得
，

即
或
，------2分 解得：
或
，

所以，不等式
的解集为
．------4分

（Ⅱ）不等式
等价于
，

即
，化简得
．------6分

若
，则原不等式的解集为
=
，此时，
；-----8分

若
，则原不等式的解集为
=
，此时，
．

综上所述，
或
．------10分