湖南省岳阳县一中2014届高三第四次阶段考试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，集合
，则集合
=( )

A．
　 B．
　 　　C．
　　 　D．

2.下列命题中的假命题是（ ）

A．
B．

C．
D．

3.已知直线
平面
,则“
”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．平面向量
与
的夹角为
，
，则
=( )

A．7　　　　　 B．
　　　 　C．
　　　 　D． 3

5.曲线
在
处的切线的斜率是 （ ）

A.
B.
C.
D．

6.设
,若
是
与
的等比中项,则
的最小值为 ( )

A．8 B．4 C．1 D．2

7.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积

是（ ）

A．
B．

C．
D．

8.定义域为
的奇函数
，当
时，
恒成立，若
，
，
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.等差数列
的前
项和为
，已知
，

，则（ ）

A．
B．

C．
　 D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡相应位置）

10. 已知平面向量
，
， 且
//
，则
= .

11.若
，则
.

12.已知数列
的前
项和为
，则
= .

13.函数
的零点个数是 .

14.已知
满足条件
，则
的最小值为 .

15.记数列
为
，其中
，
. 定义变换
，
将
中的
变为
；
变为
.设
；例如
，则
.

（1）若
，则
中的项数为 ；

（2）设
为
，记
中相邻两项都是
的数对个数为
，则
关于
的表达式为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求函数
的单调递增区间；

(2)求函数
在
上的值域.

17.（本小题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
，若

且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，
的面积
，求
的值.

18.（本小题满分12分）

已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，
，
分别是
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积.

19.（本小题满分13分）

为了保护环境，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把一种可导致雾霾的烟尘转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少
吨，最多为
吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为
，且每处理一吨烟尘得到可利用的化工产品价值为
元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？若获利，求出最大利润；若不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

20.（本小题满分13分）

已知数列
满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
.若对一切
，都有
成立（
为正整数），求
的最小值.

21.（本小题满分13分）

已知函数
，其中
为自然对数的底，
为常数.

（1）若函数
存在极小值，且极小值为
，求
的值；

（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.

岳阳县一中2014届高三第四次阶段考试

数学试卷(文)答案

一、选择题：

1-9 B D B C A， D C A B

二、填空题：

10.
11.
12.

13.
14. 2 15.（1）
（2）

三、解答题：

16.（1）

函数
的单调递增区间为
……………… 6分

（2）

……………… 8分

当
时
的最小值为
；当
时
的最大值为

所以
在区间
上的值域为
……………… 12分

17.（1）∵

∴
∴
即
……………… 6分

（2）
有
……………… 8分

由余弦定理
知
知
. ……………… 12分

18.（1）先证
面
……………… 6分

（2）
,
……………… 12分

19.烟尘的每吨平均处理成本为
……………………
分

当
时，才能使每吨的处理成本最低，最低成本为
元.

（2）设该单位每月获利为
元

则
…………………… 8分

又
，所以当
时，
有最大值
，

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴
元，才能不亏损. ……………………
分

20.（1）∵

∴
两式相减可得

……………3分

又
故数列
的通项公式
……………5分

（2）
……………6分

由错位相减可知
……………11分

，所以
，即
的最小值为
……………13分

21.（1）

当
时，
，
不存在极值，舍去；

当
时，
在
上是减函数，在
上是增函数，

为函数的极小值点， 又
，所以
……………………4分

（2）
即
…………………5分

设
，
，所以
…………………7分

时，
，所以
.

Ⅰ.当
，即
时，
，则
在
上为增函数，所以
恒成立； …………………9分

Ⅱ. .当
，即
时，则存在
使
，从而当
时，

在
上是减函数，
不合题意. …………………12分

综上可知，
的取值范围是
. …………………13分