江都中学高三限时练习 数学I

答案统一写在答题纸上

一、填空题：（每小题5分，共70分）

1、复数z=
,则|z|= ．

2、方程
（
为常数，
）的所有根的和为 [来源:学.科.网]

[来源:Zxxk.Com]

3、今年“3·15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在
、
、
、
四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在
单位抽30份，则在
单位抽取的问卷是 份．

4、若f(x)是R上的增函数，且f(-1)
-4,f(2)=2，设
，

若
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 ．

5、 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）

甲

10

8

9

9

9



乙

10

10

7

9

9



 如果甲、乙两
人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 .

6
、若函数
是幂函数，且在
上是减函数，则实数
。

7、在△ABC中，角A、
B、C所对的边分别为
、b、c ，若
，则
。

8、已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y=0，若m在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．

9、设
、
满足条件
，则
的最小值　 　．

10、已知
是直线，
是平面，给出下列命题：①若
，则
；②若
，则
；③若
内不共线的三点到
的距离都相等，则
；④若
，且
，
，则
；⑤若
为异面
直线，


，
，


,
，则
.则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

11、一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（
＋1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影------椭圆的离心率为　　

12、已知数列
满足
（
为正整数）且
，则数列
的通项公式为

13、 函数
单调递减区间为 .

14、已知函数f(x)在定义域（

，1]上是减函数，若不等式f(k
sinx)
f(k2
sin2x)对一切实数x恒成立，则k的取值范围是 。

二、解答题：

15、（本题14分）　已知向量m=(sinA,cosA),n=
，m·n＝1，且A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数
的值域.

[来源:Zxxk.Com]

16、（本题14分）如图，正三棱柱

的所有棱长都相等，
为
的中点，
（1）求证：
∥
（2）求证：
平面
．

17、（本题15分）

某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过
m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当
时，相邻两车之间保持20m的距离；当
时，相邻两车之间保持
m的距离。自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为
。

（1）将
表示为
的函数。（2）求车队通过隧道时间
的最小值及此时车队的速度。

18、（本题15分）

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时
，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为
.

（Ⅰ）求证：
，点
恒在过定点
，斜率为
的直线上；

（Ⅱ）求数列
的通项公式
；

（Ⅲ）用记号
表示数列
从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列
，
，…，
，… 的前n项和
.

19、（本题16分）

平面内与两定点
,

连线的斜率之积等于非零常数
的点的轨迹,加上
、
两点所成的曲线
可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线
的方程,并讨论
的形状与
值的关系;

(Ⅱ)当
时,对应的曲线为
;对给定的
,对应的曲线为
,设
、
是
的两个焦点.试问:在
上是否存在点
,使得△


的面积
.若存在,求



的值;若不存在,请说明理由.

[来源:学科网ZXXK]

20、（本题16分）

已知函数
定义域为
(
),设
.

(Ⅰ)试确定
的取值范围,使得函数
在
上为单调函数；

(Ⅱ)求证:
；

(Ⅲ)求证:对于任意的
,总存在
,满足
,并确定这样的
的个数.

江都中学高三限时练习 数学附加题

（答案统一写在答题纸上）

（每题10分，共4
0分）

21、B二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．

(1)求矩阵M；

(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．

21、C设点M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求点M，N间的最小距离．

22、如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.

(1)求证CD⊥平面BDM；

(2)求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值．

23、为积极配合2014年春季校田径运动会志愿者招募工作，江都中学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，4名男同学，5名女同学共9名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．

(1)记X为男同学当选的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望；

(2)设至少有n名女同学当选的概率为Pn，求满足Pn≥时n的最大值．

江都中学高三限时练习 数学答案

一、填空题：（每小题5分，共70分）

1、
2、0 3、60 4、（3，＋∞） 5、甲 6、2 7、

8、
9、4 10、②⑤ 11、
12、
13、
14、

二、解答题：

15、　解：（Ⅰ）由题意得
　

由A为锐角得
-----------------------7分

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知
　所以

因为x∈R，所以
，因此，当

时，f(x)有最大值
.

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是
.------------14分

16、证明：（1）取
的中点
，连结
，则OE∥AB，又
平面ABC，AB
平面ABC,

∴
平面ABC ……………………… 3分

同理
平面ABC 又
∴平面
平面ABC

而
平面
，∴
平面ABC………………………７分

（2）连
∵
是正方形，∴
………………………９分

∵
，∴
又
是
的中点，∴
，………12分

∵
∴
平面
…
……………………14分

注：其它解法酌情给分

17、解：（1）当
时，

当
时，

所以，
------------7分

（2）当
时，在
时，

当
时，

当且仅当
，即：
时取等号。

因为
，所以 当
时，

因为

所以，当车队的速度为
时，车队通过隧道时间
有最小值
------------15分

18、解：（Ⅰ）设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：

① 第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为
；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
. ----2分

② 第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为
； 因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
.----4分

∴
，变形得
.

∴点（Pn ，Pn+1）恒在过定点（
，
），斜率为
的直线上. ----6
分

（Ⅱ）
，
，又由（Ⅰ）知：
，

∴{
}是首项为
，公比为
的等比数列，

∴
，故所求通项公式为
. ----10分

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{
}是首项为
，公比为
的等比数列，又

∵
（
）是常数，

∴
，
，…，
，…，也成等比数列，

且

从而
.----15分

解法二：

+
+…+

. ----15分

19、解:(I)设动点为M,其坐标为
,当
时,由条件可得
即
,

又
的坐标满足

故依题意,曲线C的方程为
----4分

当
曲线C的方程为
是焦点在y轴上的椭圆;

当
时,曲线C的方程为
,C是圆心在原点的圆;

当
时,曲线C的方程为
,C是焦点在x轴上的椭圆;

当
时,曲线C的方程为
C是焦点在x轴上的双曲线. ----8分

(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为
----9分

当
时, C2的两个焦点分别为

对于给定的
,
C1上存在点
使得
的充要条件是

由①得
由②得

当
或
时, 存在点N,使S=|m|a2; ----11分

当
或

时, 不存在满足条件的点N, ----12分

当
时, 由
,

可得
令
,

则由
, 从而
,

于是由
, 可得

----14分

综上可得:

当
时,在C1上,存在点N,使得

当
时,在C1上,存在点N,使得

当
时,在C1上,不存在满足条件的点N. ----16分

[来源:学科网]

20、 (Ⅰ)解:因为
…………………………(2分)

由
；由
,
所以
在
上递增,

在
上递减 …………………………………………………………………(4分)

欲
在
上为单调函数,则
……………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为
在
上递增,在
上递减,所以
在
处取得极小值
(7分)

又
,所以
在
上的最小值为
…………………………(9分)

从而当
时,
,即
………………………(10分)

(Ⅲ)证:因为
,所以
即为
,

令
,从而问题转化为证明方程
=0

在
上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分)

因为
,
,所以

①当
时,
,所以
在
上有解,且只有一解 …(13分)

②当
时,