陕西省咸阳市2014届高三高考模拟考试（二）

数学理试题

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小

题，每小题5分，共50分）．

1.已知全集U=R，集合A=｛x｜
＞1｝，B=｛x｜x2+3一4<0｝，则A∩B等于（　）

A.（0，1）　　B.（1，＋
）　C.（一4，1）　　D.（一
，一4）

2.已知i为虚数单位，复数z＝2i（2一i）的实部为a，虚部为b，则logab等于（　）

A. 0　　　　　 B. 1　　　　　 C．2　　　　　　 D.3

3.设
是两个非零向量，则“
>0"是“
夹角为锐角”的（　　）

A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（　）

A.
　　　　　　　　　　　　B.

C. 2 　　　　　　　　　　　　D. 1

5、设
展开式的常数项为（　　）

A.12 　　　　　　　　　　　B.6

C、4　　　　　　　　　　　 D. l

6.已知一只蚂蚁在圆：x2＋y2＝1的内部任意随机爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻

该蚂蚁爬行在区域｜x｜+｜ y｜≤1内的概率是（　　　）

A、
　　　　　B、
　　　　　C、
　　　　　D、

7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 时,f(x)＝2＋f(
)log2x，则f(－2)＝（　）

A. 1 　　　　　　B. 3 　　　　　C．一1 　　　　D．一3

8．定义一种运算符号“
”，两个实数a，b的“a
b”运 算原理如图所示，若输人a＝2cos
，b＝2tan
， 则输出P＝（　　）

A.4

B．2

C、0

D.一2

9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为（　　）

A. 12　　　　　　B．18 　　　 C ．24 　　　　D.48

10.设函数f(x)的导函数为f
(x)，对任意x
R都有f(x) >f
(x)成立，则（　　）

A. 3f(ln2）＞2f(ln3) 　B．3f( 1n2）＝2f( 1n3）

C. 3f(ln2）＜2f(ln3）　D. 3f(ln2）与2f( 1n3）的大小不确定

第11卷（非选择题）

二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知函数f(x)＝
，且函数g(x)＝f(x)＋x一a只有一个零点，则实数a

的取值范围是＿＿＿

12.观察下列等式：

则第n个等式为＿＿＿＿＿＿

13.如图为函数f(x) ＝tan（
）的部分图象，点A为函数f（x）在y轴右侧的第一个零点，点B在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB的倾斜角等于＿＿＿＿．

14.一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4
，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取＿＿＿＿时，才能使玻璃球触及杯底．

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选讲选做题）已知a，b，c，d
R，且a2＋b2＝2，c2＋d2＝2，则ac＋bd的最大

值为＿＿＿

B.（几何证明选讲选做题）如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D, △ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝＿＿＿＿

C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
＝4cos
的圆心到直线
的距离是＿＿＿＿

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16.（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝
accosB

（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；

（2)若a＝2，且
，求边c的取值范围．

17.（本小题满分12分）

在等差数列
中，公差d≠0，a1＝1且a1，a2 ，a5成等比数列．在数列
中,b1＝3，

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和为Tn．

18.（本小题满分12分）

如图，梯形ABCD中，AB／／CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2 ．E为AB中点．现将该梯形沿DE析叠．使四劝形BCDE所在的平面与平面ADE垂直。

（1)求证：BD⊥平面ACE;

(2）求平面BAC与平面EAC夹角的大小．

19.（本小题满分12分）

在椭圆C：
，中，F1，F2分别为左右焦点A1，A2，B1，B2分别为四

个顶点，已知菱形A1 B1A2B2和菱形B1F1B2 F2的面个积分别为4
和2

（1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右顶点A2作两条互相垂直的直线分别和椭圆交于另一点P，Q，试判断直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

20.（本小题满分13分）

在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每

队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，

对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得

1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为
．

（1)求A队得分为1分的概率；

（2）求
的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝lnx－mx＋m，m
R.

（1)已知函数f(x)在点（l ，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；

（2）求函数f(x)的单调区间；

(3)在(1)的结论下，对于任意的0

理 科 数 学 参 考 答 案

一．选择题

二．填空题

11.
12.
13.
14.

14题解析 由题可知抛物线的方程为
，设小球的截面圆心为
,抛物线上点
，点
到圆心距离平方为

在
时取到最小值，则小球触及杯底,所以
,得
,即
,故当玻璃球的半径
最大取
时，才能使玻璃球触及杯底.

15.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.

16.（本小题满分12分）

解由三角形面积公式及已知得

化简得
即
又
故
.………………………3分

（1）由余弦定理得,
∴

∴
,知
………………………………………6分

（2）由正弦定理得
即

由
得

又由
知
故
……………………………………12分

17.（本小题满分12分）

解：（1）依题意得
，即

解得
（
不合要求，舍去）.

∴
.

在数列
中,由
，得

即数列
是首项为
2，公比为2的等比数列．

得

即
……………………………………6分

（2）由(1) 得

∴

相减得

整理得
……………………………………12分

18. （本小题满分12分）

（1）证明：∵平面
平面
,

∴
平面

而

平面
∴

又
, ∴
平面
……………………6分

(2)解法1设
,过点
作
于
,连接
,

易证
,即
是二面角
的平面角

在
中,
,得
,

所以
,即平面
与平面
夹角的大小为
.……………………12分

解法2：取
为原点，直线
分别为
轴和
轴，建立如图所示的坐标系
，则

∴

设
是平面
的法向量，则由

得
，取
，

由（1）
平面
知平面
的一个法向量

∴
，得
，

可知平面
与平面
夹角的大小为
.……………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）依题意知：
，解得
，

即椭圆
. ……………………5分

(2)解法1：由题意知，直线
与直线
的斜率均存在且不为
，设
，
,

设直线
的方程为：
,直线
的方程为：

由
联立消去
整理可得：
，

容易知
恒成立，所以
，

由韦达定理得：
，所以
，代人
可得：
，所以
，同理可得：
,

当
轴时，
，解得
，此时直线
方程为
，知直线

过点
；

当直线
与
轴斜交时，直线
的方程为：
，化简可得：
知直线
过定点
.

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

解法2：显然符合条件的直线
存在，且斜率不为
，设直线
，
，

，则由
及
得

化简得
①

即

依题意
，即

，代入①得

化简得
，解得
或
（舍去）

此时直线
，过定点

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

解法3：设直线
，则由
及
得

化简得
①

即

依题意
，即

，代入①得

化简得
，解得
或

当
时，直线
，过点
，不合理，舍去；

当
时，直线
，过定点
.

当直线
轴时，易得直线
，也过定点
.

综上知,直线
恒过定点
. ……………………12分

20.（本小题满分13分）

解（1）设A队得分为1分的事件为
,

∴
.……………………5分

（2）
的可能取值为

，

,

∴
的分布列为

于是
,

∵
, ∴
.

由于
, 故B队比A队实力较强. ……………………13分

21.（本小题满分14分）

解 由
得

(1)依题意得
,即
……………………3分

(2)当
时,
,知函数
在
递增;

当
时,
,由
得
,由
得

即函数
在
递增,在
上递减. ……………………9分

(3)由(1) 知
,得

对于任意的
，
可化为

其中

,其中

,即

由(2)知, 函数
在
递减,且
,于是上式成立

故对于任意的
，
成立. ……………………14分