二〇一一级高三模块考试

理科数学答案 2014.3

说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.

CDCAB,ABAAC

（1）解析：答案C,

，

，故
＝
.

（2）解析：答案D,

.

（3）解析：答案C,

由题意知，直三棱柱的棱长为,底面等边三角形的高为
，所以其左视图的面积为
.

(4)解析：答案A,

由
得
.当
时，

(5)解析：答案B,

等价于
，当
或
时，
不成立；

而
等价于
,能推出
；

所以“
”是“
”的必要不充分条件.

（6）解析：答案A,

圆的圆心为
.由圆的性质知，直线
垂直于弦
所在的直线,则
,即

.又由直线的点斜式方程得直线
的方程为：
,即
.

(7)解析：答案B,根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：
.

(8)解析:答案A,

①
在定义域上是偶函数，其图象关于轴对称；

②
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；

③
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，

且当
时，其函数值
;

④
,在定义域上为非奇非偶，且当
时，其函数值
,

且当
时，其函数值
.

（9）解析：答案A,动点
满足的不等式组为
，画出可行域可知的运动区域为以
为中心且边长为
的正方形，而点到点
的距离小于或等于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆以及圆的内部，所以

（10）解析：答案
,由题意知
函数
的周期为，则函数
在区间
上的图象如下图所示：



由图形可知函数
在区间
上的交点为
，易知点的横坐标为
，若设的横坐标为
，则点的横坐标为
，所以方程
在区间
上的所有实数根之和为
.

二、填空题：

(11)解析：答案
,由

(12) 解析：答案，把
在框图中运行次后，结果是
，所以
.

(13)解析：答案
， 由
得
，即
得
，即
.

(14)解析：答案：
.

由右边

左边，故知．

填入
，
，
之一也可．

(15)解析：答案
，不等式等价于
，即

又
（均值不等式不成立）令
故

，所以
，

，（因为
最小值大于
，在
中，可以取等号），故
，解得
或
，所以答案为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.解：（Ⅰ）因为

，

所以函数
的最小正周期为
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

由已知，
，又角
为锐角，所以
，

由正弦定理，得
……………………………12分

17. 解：

（I）记至少有2人是“幸福”为事件，由题意知

=1-
-
=1-
-
=
； …………………6分

（Ⅱ）
的可能取值为0， 1，2，3.

，

，

，

，……………10分

所以
的分布列为：

























……………12分

18．证明：（I）在
中，
，

则
， ∴
⊥
.

∵
⊥平面
，∴
⊥
.

又
平面
，
平面
，且
，

∴
⊥平面
.

又
平面
，∴
⊥
. ………6分

（Ⅱ）由题知，以
为坐标原点，
为
轴，

建立如图空间直角坐标系
.

由已知，
，∴
.

因为等腰梯形
，
，
，

所以
，∴
，
，

，
， …………8分

所以
，
，

，
.

设平面
的法向量为
，则
，

令
，故
，即
.

设平面
的法向量为
，

则
，

令
，∴
，即
.

故
，

设二面角
的大小为
，由图可知
是钝角，

所以二面角
的余弦值为
. …………12分

19．解：(Ⅰ)由题意知，
，

所以
，

故
，

所以
…………………………3分

所以

于是

两式相减得

所以
……………………7分

（Ⅱ）因为

所以当
时，
,

当
,

所以当
时，
取最大值是
,

又
,

所以

即
……………………12分

20．解：（Ⅰ）由题意，椭圆
的方程为

，又

解得
,∴椭圆
的方程是
. 由此可知抛物线
的焦点为
,得
,所以抛物线
的方程为
. ………………4分

（Ⅱ）
是定值,且定值为
,由题意知，

直线的斜率
存在且不为
，设直线
的方程为
,

则
联立方程组

消去得:

且
,由
,
得
整理得
可得

.

………………9分

（Ⅲ）设
则

由
得
…①

将点
坐标带入椭圆方程得,
…②
…③

由①+②+③得

所以点
满足椭圆
的方程,所以点
在椭圆
上.………13分

21.解：（Ⅰ）
,
.

在
处的切线斜率为
，

∴切线
的方程为
，即
.……2分

又点
到切线
的距离为
,所以
，

解之得，
或
…………4分

（Ⅱ）因为
恒成立，

若
恒成立；

若
恒成立，即
，在
上恒成立，

设
则

当
时，
，则
在
上单调递增；

当
时，
，则
在
上单调递减；

所以当
时，
取得最大值，
，

所以的取值范围为
. …………9分

（Ⅲ）依题意,曲线
的方程为
,令

所以
,

设
,则
,当
,

故
在
上单调增函数,因此
在
上的最小值为

即

又
时,

所以

曲线
在点
处的切线与轴垂直等价于方程
有实数解,但是
,
没有实数解,

故不存在实数
使曲线
在点
处的切线与轴垂直.