2014年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题(理科) 参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

B

D

B

C

B

B

A





3. 解析：由
得
，所以
，

，选C.

4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为
，则
，
，∵
，∴
,选B.

5. 解析：多面体
为四棱锥，利用割补法可得其

体积
，选D.

6. 解析：直线的方程为
，圆的方程为
，圆心到直线的距离为1，故圆
上有2个点到
距离为1，选B.

7. 解析：设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，焦距为
，
，
，且不妨设
，由
，
得
，
.又
，∴
，

∴
，即
，解得
，选C.

8. 解析：设
，
，则
等于1或-1，

由

，

知

共有3个1，1个-1.这种组合共有
个，选B.

9. 解析：由已知有

，作出可行域，

令
，则
的最小值为点
到直线

的距离，此时
，

所以
的最小值为
，选B.

10. 解析：令
，则
，

所以函数
为增函数，∴
，∴

，∴
.又
，

∴
，选A.

二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)

11. 解析：∵
的展开式所有项的系数和为
，

∴
，

∴

，

其展开式中含
项的系数为
.

12. 解析：由
及正、余弦定理知：
，整理得
，由
联立解得：
.

13. 解析：当输出的
时，
，设输入的值为
,
, 且
,解得
.最大值为
.

14. 解析：函数
有三个零点等价于方程
有且仅有三个实根. ∵
，作函数
的图像，如图所示，由图像可知应满足：
，故
.

15. 解析：显然①正确；
，∵
，所以②错误；由
得
,所以
，所以
，故③正确；∵
，所以④错误；根据夹角公式
，又
，

得
，故
，即

，⑤正确

所以正确的是①、③、⑤.

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）

…………4分

由于
得：
，所以
.

所以
的图像的对称中心坐标为
…………6分

（Ⅱ）
=
，列表：

描点、连线得函数
在
上的图象如图所示：

17．（本题满分12分）

解答：设“教师甲在点投中”的事件为，“教师甲在点投中”的事件为.

（Ⅰ）根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7

，

…………6分

X

0

2

3

4

5

7



P















所以X的分布列是：

…………8分

（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.

这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为：

…………12分

18.（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）
，

由
知，

①当
时，
，
在
上递增，无最值；

②当
时，
的两根均非正，因此，
在
上递增，无最值；

③当
时，
有一正根
，
在
上递减，在
上递增；此时，
有最小值；

所以，实数的范围为
. …………7分

（Ⅱ）证明：依题意：
，

由于
，且
，则有

. …………12分

19.（本题满分13分）

解答：（Ⅰ）∵平面
垂直于圆
所在的平面，两平面的交线为
，
平面
，
，∴
垂直于圆
所在的平面.又
在圆
所在的平面内，∴
.∵
是直角，∴
，∴
平面
,∴
.

…………6分

(Ⅱ) 如图，以点
为坐标原点，
所在的直线为轴，过点
与
平行的直线为轴，建立空间直角坐标系
.由异面直线
和
所成的角为
，
知
，

∴
，

∴
，由题设可知
，
，∴
，
.设平面
的一个法向量为
，

由
，
得
，
，取
，得
.

∴
.又平面
的一个法向量为
，∴
.

平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
. …………13分

（其他解法可参考给分）

20.（本题满分13分）

解析：（Ⅰ）根据已知条件有
，且
，故椭圆的长轴在轴上.

，当且仅当
时取等号.

由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为
.

…………5分

（Ⅱ）设交点
，过交点的直线
与椭圆
相切.

(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为
. …………6分

(2)当斜率存在且非零时，则
设斜率为
，则直线
：
，

与椭圆方程联立消，得：
.

由相切，
，

化简整理得
. ①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故
，而
为方程①的两根，

故
，整理得：
.

又
也满足上式，

故点的轨迹方程为
，即点在定圆
上. ………13分

21.（本题满分13分）

解析：（Ⅰ）若
，则
，

由
，

得
或
，所以只需
或
.

所以实数的取值范围为
∪
. …………6分

(Ⅱ)
对任意
成立的充要条件为
.

必要性：由
，解出
；

（另解：假设
，得
，令
，
，可得：
，即有
.） …………8分

充分性：数学归纳法证明：
时，对一切
，
成立.

证明：（1）显然
时，结论成立；

（2）假设
时结论成立，即
，

当
时，
.

考察函数
，
，

① 若
，由
，知
在区间
上单调递增.由假设得


.