2014届高三一轮模拟考试

文科数学参考答案及评分标准2014-3

说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.

CDBCA CBADA

（1）解析：答案：C.
＝


=
.

（2）解析：答案：D．

（3）解析：答案B.由题意可知人数为
.

（4）解析：答案：C.

由
，得
.当
时，

（5） 解析：答案：A.

圆的圆心为
.由圆的性质知，直线
垂直于弦
所在的直线,

则
.所以直线
的方程为：
,

即
.

（6）解析：答案：C．由已知，三棱柱的侧棱长为4，侧视图是一个矩形，它的一边长为4，

另一边长是底面正三角形的高
，所以侧视图的面积为
．

（7）解析：答案：B.
等价于
，当
或
时，
不成立；而
等价于
,能推出
；所以“
”是“
”的必要不充分条件.

（8）解析: 答案：A.

①
是偶函数，其图象关于轴对称；

②
是奇函数，其图象关于原点对称；

③
是奇函数，其图象关于原点对称，且当
时，其函数值
;

④
为非奇非偶函数，且当
时，
, 且当
时，
.

(9)解析: 答案：D.

函数
的图象关于轴对称,得
,又
,

所以
，
，

，

由题意，
在
上是增函数，所以
.

（10）解析：答案：A.动点
满足的不等式组为
画出可行域可知在以
为中心且边长为
的正方形及内部运动，而点到点
的距离小于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆的内部，所以概率
.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）3；（12）
；（13）
；（14）4；

（15）填入
，
之一即可．

（11）解析：答案：3.
，所以

（12）解析：答案：
．由已知，得
所以
，所以其渐近线方程为
．

（13）解析：答案
.由题意得
，所以
.当且仅当
时取等号.

（14）解析：答案：4.把
在框图中运行4次后，结果是24，所以
=4.

（15）解析：答案：填入
，
之一即可．

例证
如下：

.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）解：（Ⅰ）因为

， ………………………………………4分

所以函数
的最小正周期为
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
， …………………8分

由已知，
，又角
为锐角，所以
， ……………………………10分

由正弦定理，得
……………………………12分

（17）解：（Ⅰ）社区总数为12＋18＋6＝36，样本容量与总体中的个体数比为

所以从，，
三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1． ……………4分

（Ⅱ）设
为在行政区中抽得的2个社区，
为在B行政区中抽得的3个社区，
为在
行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有

共有15种． ……………………………7分

设事件“抽取的2个社区至少有1个来自行政区”为事件
，则事件
所包含的

所有可能的结果有：

共有9种， ………………………………………………10分

所以这2个社区中至少有1个来自行政区的概率为
……………12分

（18）解：（Ⅰ）连结
，因为四边形
为菱形，

且
，所以
为正三角形，

又
为
的中点，所以
；………2分

又因为
，Q为AD的中点，所以
.

又
，所以
………4分

又
，所以

……………………………6分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，连
交
于
，

由
可得，
∽
，所以
， ………8分

因为
平面
，
平面
，平面

平面

.

所以
， ………10分

因此，
. 即的值为
. ………………………12分

（19）解：（Ⅰ）由题意知，
， ……………………2分

（常数），

∴数列
是首项
公差
的等差数列. ……………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,

, …………………………6分

于是
,

两式相减得

……………………11分

. ……………………12分

（20）（Ⅰ）设椭圆标准方程
，

由题意，抛物线
的焦点为
,
.

因为
,所以
………………………2分

又

，
，
,

又

所以椭圆的标准方程
. ………………………5分

（Ⅱ）由题意，直线
的斜率存在，设直线
的方程为

由
消去，得
,（*）

设
,则
是方程（*）的两根，所以

即
① ……7分

且
，

由
，得

若
，则点与原点重合，与题意不符，故
，

所以，
……9分

因为点
在椭圆上，所以

, 即

,

再由①，得
又
，
. ………………13分

（21）解：（Ⅰ）
,
.

在
处的切线斜率为
， ………………………1分

∴切线
的方程为
，即
.…………………3分

又切线
与点
距离为
,所以
，

解之得，
或
…………………5分

（Ⅱ）∵对于任意实数
恒成立，

∴若
，则为任意实数时，
恒成立； ……………………6分

若

恒成立，即
，在
上恒成立，…………7分

设
则
, ……………………8分

当
时，
，则
在
上单调递增；

当
时，
，则
在
上单调递减；

所以当
时，
取得最大值，
， ………………9分

所以的取值范围为
.

综上，对于任意实数
恒成立的实数的取值范围为
. …10分

（Ⅲ）依题意,
，

所以
, ………………11分

设
,则
,当
,

故
在
上单调增函数,因此
在
上的最小值为
，

即
， ………………12分

又
所以在
上，
，

即
在
上不存在极值. ………………14分