2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

参考公式：

·如果事件
、
互斥，那么

柱体的体积公式
. 其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知
满足线性约束条件
，则
的最小值是( )

A.－6　　　　 B.5　　　　C.38　　　　D.－10

3. 二项式
展开式中的常数项是( )

A．15 B．60 C．120 D．240

4. 对于实数
和
，定义运算
，运算原理如右图所

示，则式子
的值为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．

5. 在
中，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 线段
是圆
的一条直径，离心率为
的双曲线
以
为焦点．若
是圆
与双曲线
的一个公共点，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知实数
，若
，则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

8. 函数
,则下列说法中正确命题的个数是（ ）

①函数
有3个零点；

②若
时，函数
恒成立，则实数k的取值范围是
；

③函数
的极大值中一定存在最小值；

④
，对于一切
恒成立．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

9.设
是虚数单位,复数
= ．

10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为
的扇形,则该几何体的体积为 .

11. 直线
被抛物线
所截得的弦长为4，则
.

12.在
中，
,
的平分线交
于
,若
，且
,则
的长为 .

13. 如图所示,已知
与⊙
相切,
为切点,过点
的割线交圆于
两点,弦
,
相交于点
,
为
上一点,且
,若
,

,则
=___________.

14. 设函数
的图象与函数
的图象有三个不同的交点，则
的范围是 .

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）已知函数
.

(Ⅰ)求
的最小正周期，并求出当
时，函数
的值域；

(Ⅱ)当
时，若
, 求
的值.

16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的
名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：

组别

候车时间（单位：min）

人数



一



1



二



5



三



3



四



1



(Ⅰ)估计这
名乘客中候车时间少于
分钟的人数；

(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；

(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自
个组，求
的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分）如图，多面体
中，
两两垂直，且
，
，
，
.

（Ⅰ）若点
在线段
上，且
，求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角的正弦值；

（Ⅲ）求锐二面角
的余弦值.

18．（本小题满分13分）设
，若
其中
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求证：
为等比数列，并求其通项公式；

（Ⅲ）若
其中
，试比较
与
的大小，并说明理由．

19．（本小题满分14分）已知椭圆
(
)的离心率为
，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）四边形
的顶点在椭圆
上，且对角线
均过坐标原点
，若
.

(i) 求
的范围；(ii) 求四边形
的面积.

20．（本小题满分14分）已知函数
，
，
图象与
轴交于点
（
异于原点），
在
处的切线为
，
图象与
轴交于点
且在该点处的切线为
，并且
与
平行.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)已知实数
，求函数
的最小值；

(Ⅲ)令
，给定
，对于两个大于1的正数
，存在实数
满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

B

C

C

D

A

B



二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．
；10．
； 11．0； 12．
； 13．
； 14．

三、解答题

15.解：（1）

………4分

由
，得
………5分

………6分

时，函数
的值域为
………7分

(2)

；

所以
………9分

………10分

=
………11分

=
………13分

16.解：(Ⅰ)候车时间少于
分钟的人数为
人； ………3分

(Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A”

…………7分

(Ⅲ)
的可能值为1，2，3

…………10分

所以
的分布列为

X

1

2

3



P









 …………11分

…………13分

17．解：（Ⅰ）分别取
的中点
，连结
，则有
.

∵

∴
　……………………………………………1分

又∵

∴

∴四边形
是平行四边形

∴
　　　……………………………………………………2分

又∵

∴
平面
　　……………………………………………4分

（Ⅱ）如图，以
为原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
.则

　……………………………………6分

设平面
的一个法向量
，则有

，化简，得

令
，得
……………8分

设直线
与平面
所成的角为
，则有
.　………………………9分

所以直线
与平面
所成的角的正弦值为
.

(Ⅲ)由已知平面
的法向量

设平面
的一个法向量

令
则
……………………………………………………11分

设锐二面角
为

则
………………………12分

所以锐二面角
的余弦值为
………………………13分

18.解：(Ⅰ)
…2分

（Ⅱ）

...3分

∴
是首项为
，公比为
的等比数列． …4分

∴
的通项公式是
…5分

（Ⅲ）

…6分

两式相减得

∴

…7分

∴
…8分

…9分

∴只要比较
与
大小．

当n＝１时，
即
…10分

当n＝2时，
即
…11分

当

故n＝1或2时，
时，
．（结论不写不扣分） …13分

19.解：（I）由已知，
…………2分

于是
…………3分

所以椭圆的方程为
…………4分

（II）当直线AB的斜率不存在时，
，所以
的最大值为2. ……5分

当直线
的斜率存在时，设直线AB的方程为
，设

联立
，得
…………6分

…………7分

∵

…………8分

=

…………9分

……10分

因此，
…………11分

另解：

设直线
方程：
，
方程：

分别求出
的坐标 …………占2分

分情况讨论，
>0时，分析
所在的象限，求范围 …………占3分

同理
时