山东省临沂市重点中学2014届高三4月月考

理科数学 2014.4.4

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟．

2．请用0．5mm黑色签字笔将答案直接写在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知
，那么
=（ ）

A．
?? B．??
? C．
??? D．

4．在等差数列
中，已知
，则
= （ ）

A．10 B．18 C．20 D．28

5．执行如图所示的程序框图，若输入的
的值为
，则输出的
的值为（ ）

A．3 B．126 C．127 D．128

6．某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，

则该钢厂2010年的年产量约为（ ）

A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨

7．过抛物线
焦点
的直线交其于
，
两点，
为坐标原点．若
，

则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．2

8．下列说法正确的是（ ）

A．“
为真”是“
为真”的充分不必要条件；

B．已知随机变量
，且
，则
；

C．若
，则不等式
成立的概率是
；

D．已知空间直线
，若
，
，则
．

9．已知球O的面上四点A、B、C、D,

则球O的体积等于（ ）

A．
B．

C．
D．

10．若函数
的导函数在区间
上的图像关于直线
对称，

则函数
在区间
上的图象可能是（ ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．不等式
的解集为 ．

12．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值是 ．

13．在直角三角形
中，
，
，
，若
，

则
．

14．从
中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是_______ ．

(用数字作答）

15．设
是定义在
上的奇函数，且
.当
时，有
恒成立，

则不等式
的解集为___________．

三、解答题（本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分l2分)

已知向量
，
，函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，
，

，求
的面积
．

17．(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形，
∥
，
，
．在梯形
中，
∥
，

且
，
⊥平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若二面角
为
，求
的长．

18．（本小题满分12分）

中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为
，乙队获胜的概率为
，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以
暂时领先．

（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

19．(本小题满分12分)

若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列”．已知数列
中，
，

点
在函数
的图象上，其中
为正整数．

（Ⅰ）证明：数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前
项积为
，即
，求
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记
，求数列
的前
项和
，并求使
的
的最小值．

20．(本小题满分l3分)

已知椭圆
：
（
）的焦距为
，且过点（
，
），右焦点为
．

设
，
是
上的两个动点，线段
的中点
的横坐标为
，线段
的中垂线交

椭圆
于
，
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围．

21．(本小题满分14分)

已知函数
．

（Ⅰ）设
是函数
的极值点，求
的值并讨论
的单调性；

（Ⅱ）当
时，证明：
＞
．

2014届高三4月份质量检测考试

理科数学答案 2014.4.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1—5 B D B C C 6—10 C C B C D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．
12．
13．
14． 60 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

. …………3分

令
(
，得
(
,

所以，函数
的单调递增区间为
. …………6分

（Ⅱ）由
，得
，因为
为
的内角，由题意知
，

所以
，因此
，解得
, ………………………… 8分

又
，
，由正弦定理
， 得
, ……………… 10分

由
，
，

可得

, …………………11分

所以，
的面积

=
. …12分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在
中,

所以
,由勾股定理知
所以
． ……2分

又因为
⊥平面
，
平面

所以
． ………………………4分

又因为
所以
⊥平面
，又
平面

所以
． ………………………6分

（Ⅱ）解：因为
⊥平面
，又由（Ⅰ）知
，

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. 设
，

则
,
,
，
,

，
. …………………………8分

设平面
的法向量为
，则
所以

令
.所以
. ……………………………9分

又平面
的法向量
……………………………10分

所以
， 解得
． ……………………11分

所以
的长为
． ……………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）设“甲队获胜”为事件
,则甲队获胜包括甲队以
获胜和甲队以
获胜两种情况.

设“甲队以
获胜”为事件
,则
. ……………………2分

设“甲队以
获胜”为事件
,则
………4分

故
. …………………………… 6分

（Ⅱ）由题意知随机变量
所有可能的取值分别为
.

则
…………………………… 7分

……………………………… 8分

……………　…………… 9分

…………………………………… 10分

（或者
）

故
的概率分布为：

























. ……………………………12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：由题意得：
，即
，

则
是“平方递推数列”． ……………………………………………2分

对
两边取对数得
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列． ………4分

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知
. ……………………………5分

. ……………………………………8分

(Ⅲ）解:
………………………………9分

……………………………………10分

又
，即
…………………11分

又
，所以
． …………………………………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） 因为焦距为
，所以
．因为椭圆
过点（
，
），

所以
．故
，
… 2分

所以椭圆
的方程为
. …………4分

（Ⅱ） 由题意，①当直线AB垂直于
轴时，

直线AB方程为
，此时
、
，得
．……… 5分

②当直线
不垂直于
轴时，设直线
的斜率为
(
)，
(
)，

设
，
， 由
得
，

则
，故
． ………………………………………… 6分

此时，直线
斜率为
，
的直线方程为
．

即
．联立
消去
，

整理得
．

设
，

所以
，
． ……………………………9分

于是

． …… 11分

由于
在椭圆的内部，故
.

令
，
，则
． …………… 12分

又
，所以
．

综上，
的取值范围为
． …………………… 13分

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：
，由
是
的极值点得
，

即
，所以
．　　　 ………………………………２分

于是
，
，

由
知
在
上单调递增，且
，

所以
是
的唯一零点． ……………………………４分

因此，当
时，
；当
时，
，

所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增． ……………………６分

（Ⅱ）证法一：当
，
时，
，

故只需证明当
时，
＞
．　 ………………………………８分

当
时，函数
在
上单调递增，又
，

故
在
上有唯一实根
，且
． …………………10分

当
时，
；当
时，
，

从而当
时，
取得最小值且
．

由
得
,
． …………………………………12分

故
.又
=

=


．

综上，当
时，

．　 …………………………14分

证法二：当
，
时，
，又
,

所以
．　 ………………………………………８分

设函数

，
，

当
时，
；当
时，
，
，

所以
在
单调递减，在
单调递增，

故函数
在
时取唯一的极小值即最小值为
． ……………………………12分

所以
，

而上式三个不等号不能同时成立，故
＞
． …………………………………14分