吉林九校联合体2014届第二次摸底考试

数 学 试 题（文科
）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知
则
（ ）

A.
B.

C.
D.

2．已知复数
,则复数
在复平面内对应的点在 ( )

A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3．在等差数列
中，

则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．抛物线
的准线经过双曲线
的左焦点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5．将函数

的图象向左平移
个单位，所得图象的解析式是（ ）

A.
B.

C.
D.

6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到的点数中有3的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．

C．1 D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )

A.20 B.30 C.40 D.50

9. 已知
、
是两条不同的直线，
、
、
是三个不同的平

面，则下列命题正确的是( )

A．若
∥
，
∥
，则
∥

B．若
，
，则
∥

C．若
∥
，
∥
， ，则
∥

D．若
，
，则
∥

10.计算
的值为( )

A．
B．
C．
D．

11．已知向量
=
，
，
=
，
，若函数

在区间（-1，1）上是增函数，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．

D．
[来源:学§科§网Z§X§X§K]

12．已知函数
是定义在R上的增函数，函数
的图象关于点
对称．w若对任意的
恒成立，则当
时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．将某班的60名学生编号为：
采用系统抽样方法抽取一个容量为5的

样本，且随机抽得的一个号码为
，则剩下的四个号码依次是

14．若向量
，
，且
∥
，则实数
=

15．经过圆
：
的圆心，且与直线
垂直的直线方程

是

16．在
中，
边上的高为
，则

三．解答题：（本大题共6小题，共60分）

17. ( 本小题满分12分) 在各项均为负数的数列
中，已知点
，
均在函数
的图象上
，且
.

（1）求数列
的通项
；[来源:Zxxk.Com]

（2）若数列
的前
项和为
，且
，求
.

18. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
，
．

（1）若点
是
的中点，求证：
平面

（2）若
是线段
的中点，求三棱锥
的体积.

19．( 本小题满分12分) 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：

组号

分组

频数[来源:学.科.网Z.X.X.K]

频率



第一组

[
160,165)

5

0．050



第二组

[165,170)



0．350



第三组

[170,175)

30





第四组

[175,180)



0．200



第五组

[180,185]

10

0．100



合计



100

1．00



（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定
，
，
的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率.

20．( 本小题满分12分) 已知以点
为圆心的圆与
轴交于点O，A，与
轴交于点O，B，其中O为坐标原点.

（1）求证：ΔOAB的面积为定值；[来源:学&科&网]

（2）设直线
与圆C交于点M，N，若
，求圆C的方程.

21．( 本小题满分12分) 已知函数
在
处取得极值
.

求
的表达式；

设函数
.若对于任意的
，总存在唯一的
，使得
，求实数
的取值范围.

选考题：（本小题满分10分）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点

（1）求证：BD平分∠ABC

（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长

23. 已知某
圆的极坐标方程为

（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点
在该圆上，求
的最大值和最小值．

24. 已知关于
的不等式

（1）当
时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数
的取值范围．

吉林九校联合体2014届第二次摸底考试

数 学 试 题（文科）参 考 答 案

一、选择题（每小题5分，共60分）

DDBCB CABBD AC

二、填空题

13. 16,28,40,52 14.
15.
16.

三、解答题

17.解：（1）∵点
，
均在函数
的图象上，

∴
，即
，故数列
是公比
的等比数列。-----2分

又因
，则
，即
，

由于数列
的各项均为负数，则
，----------4分

∴

． ------------6分

（2）由（1）知，
，
，------------8分 [来源:Zxxk.Com]

∴
．------------12分

18.解：（1）证明：设
，连接
，

由三角形的中位线定理可得：
, ------------3分

∵
平面
，
平面
，∴
平面
． ------------6分

（2）∵平面
平面
，

∴
平面

，∴
,∴
-------8分

又∵
是
的中点，
是正三角形，

∴
，

∴
， ------------10分

又平面
平面
，
，

∴
平面
，

∴
------------12分

19. 解：（1）由频率分布表知
，
，
------------3分

因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组
人，第四组
人，第五组
人．

所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试。-----6分

（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，

第五组的1名学生为C1。则
从6名学生中抽取2名学生有15种可能：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），

第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能。------9分

所以其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为
．

-----------12分

20.解：（1）由题意知圆C过原点O，∴
．

设C的方程为
，-------2分

令
，得
，
, 则
-------3分

令
，得
，
， 则
-------4分

∴
，即ΔOAB的面积为定值．-------5分

（2）∵
，
∴OC垂直平分线段MN．

∵
∴
∴
直线OC的方程为
，

∴
，解得
或
------------7分

当
时，圆心C的坐标为（2，1），
，此时圆心C到直线

的距离
，圆C与直线
相交于两点．------------9分

当
时，圆心C的坐标为（-2，-1），，
，此时圆心C到直线
的距离
，圆C与直线
不相交．-----11分

∴ 圆心C的方程为
------------12分

21、（1）
.------------1分

由
在
处取得极值
，故
，即
，--------3分

解得：
，

经检验：此时
在
处取得极值，故
.--------5分

由（1）知
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，由
，
，故
的值域为
. -----------7分

依题意：