四川省雅安中学2014届高三下期3月月考

数学理试题

1．已知集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．若复数
满足
,则在复平面内,
对应的点的坐标是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是“不便宜”是“好货”的 （ ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知向量a＝(sin θ，)，b＝(1，)，其中

θ∈，则一定有 (　　)

A．a∥b B．a⊥b

C．a与b的夹角为45° D．|a|＝|b|

6．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本

点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 (　　)

A．直线l过点(，)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

7．已知双曲线

(
)的离心率为
,则
的渐近线方程为( )

A．
B．
C．
D．

8．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）

A．



B．



C．



D．





9．满足
,且关于x的方程
有实数解的有序数对
的个数为 （　 　）

A．14 B．13 C．12 D．10

10．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）

A．

A=N*，B=N

B．

A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}



　

C．

A={x|0＜x＜1}，B=R

D．

A=Z，B=Q



二、填空题：

11．设z=kx+y，其中实数x、y满足
， 若z的最大值为12，则实数k=　 ．

12．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

13．=

14．若将函数
表示为
， 其中
，
，
，…，
为实数，则
＝______________．

15．设函数
若
是
的三条边长，则下列结论正确的是_____ _.(写出所有正确结论的序号)

①

②

③若

三、解答题

16．已知向量＝，＝，定义函数f(x)＝·.

(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.

17．设等差数列{
}的前n项和为Sn，且S4=4S2，
．

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{
}满足
=1﹣
，n∈N*，求{
}的前n项和Tn．

（Ⅲ）是否存在实数K，使得Tn
恒成立。若有，求出K的最大值，若没有，说明理由。

18．如图1，
，
，过动点A作
，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿
将△
折起，使
（如图2所示）．

（Ⅰ）当
的长为多少时，三棱锥
的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥
的体积最大时，设点
，
分别为棱
，
的中点，试在棱
上确定一点
，使得

，并求
与平面
所成角的大小．

19.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）
表示开始第4次发球时乙的得分，求
的期望.

20．如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，M(2,0)满足＝，点T(－1,1)在AC边所在直线上且满足

·＝0.

(1)求AC边所在直线的方程；

(2)求△ABC外接圆的方程；

(3)若动圆P过点N(－2,0)，且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

21.设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=
，g（x）=f（x）+f′（x）．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论g（x）与
的大小关系；

（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜
对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．

雅安中学2013-2014学年高三下期3月试题

数学（理科）试题参考答案及提示

选择题

DCBBB ACCBD

提示：9 方程
有实数解，分析讨论

①当
时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时
可以取4个值．故有4种有序数对

②当
时，需要
，即
．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．

共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．

10．

解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；

对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数
，满足：

（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；

对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数
，0＜x＜1，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选D．





填空题

11 2

12
提示：6节课共有
种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有
种排法，三门文化课中、都相邻有
种排法，三门文化课中有两门相邻有
，故所有的排法有
，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

13 －.

14 10 提示：法一：由等式两边对应项系数相等．

即：
．

法二：对等式：
两边连续对x求导三次得：
，再运用赋值法，令
得：
，即
．

15 ①②③ 提示：①令
，

则
，因为
所以
，

即
，所以
是单调递减函数，所以在
上
，

又


，

所以

②又因为
是单调递减函数，所以在
一定存在零点
,即
,此时
不能构成三角形的三边.

③
由余弦定理易知
,即
,又
，且
连续，所以
故①②③都正确。

三、解答题

16．解 （1）f(x) ＝·＝(－2sin x，－1)·(－cos x，cos 2x)＝sin 2x－cos 2x

＝sin)

∴f(x)的最大值和最小值分别是和－

(2)∵f(A)＝1，∴sin＝.

∴2A－＝或2A－＝.

∴A＝或A＝.

又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.∵bc＝8，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×＝2

17：

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：
，

解得a1=1，d=2．

∴an=2n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）由已知
+
+…+
=1﹣
，n∈N*，得：

当n=1时，
=
，

当n≥2时，
=（1﹣
）﹣（1﹣
）=
，显然，n=1时符合．

∴
=
，n∈N*由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴bn=
，n∈N*．

又Tn=
+
+
+…+
，

∴
Tn=
+
+…+
+
，

两式相减得：
Tn=
+（
+
+…+
）﹣
=
﹣
﹣

Tn=3﹣
．



（Ⅲ）略

18．Ⅰ）解法1：在如图1所示的△
中，设
，则
．

由
，
知，△
为等腰直角三角形，所以
.

由折起前
知，折起后（如图2），
，
，且
，

所以
平面
．又
，所以
．于是

，

当且仅当
，即
时，等号成立，

故当
，即
时, 三棱锥
的体积最大．

解法2：同解法1，得
．

令
，由
，且
，解得
．

当
时，
；当
时，
．

所以当
时，
取得最大值．

故当
时, 三棱锥
的体积最大．

（Ⅱ）解法1：以
为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系
．

由（Ⅰ）知，当三棱锥
的体积最大时，
，
．

于是可得
，
，
，
，
，
，

且
．

设
，则
. 因为
等价于
，即

，故
，
.

所以当
（即
是
的靠近点
的一个四等分点）时，
．

设平面
的一个法向量为
，由
及
，

得
可取
．

设
与平面
所成角的大小为
，则由
，
，可得

，即
．

20．解　(1)∵·＝0，∴AT⊥AB，又T在AC上，

∴AC⊥AB.∴△ABC为Rt△ABC.

又AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，所以直线AC的斜率为－3，又因为点T(－1,1)在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为：y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.

(2)AC与AB的交点为A，所以由

解得点A的坐标为(0，－ 2)，∵＝，∴M(2,0)为Rt△ABC斜边上的中点，即为Rt△ABC外接圆的圆心，又r＝|AM|＝＝2 ，

从而△ABC外接圆的方程为：(x－2)2＋y2＝8.

(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以|PM|＝|PN|＋2 ，即|PM|－|PN|＝2 .

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线的左支．

因为实半轴长a＝ ，半焦距c＝2.

所以虚半轴长b＝＝.

从而动圆P的圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－)．

21．

解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+
，

∴g′（x）=
，令g′（x）=0，得x=1，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），

因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

∴最小值为g（1）=1；

（Ⅱ）
=﹣lnx+x，

设h（x）=g（x）﹣
=2lnx﹣x+
，

则h′（x）=
，

当x=1时，h（1）=0，即g（x）=
，

当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，

因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，

当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞
，

当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜
，

（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一 假设存在x0＞0，

使|g（x）﹣g（x0）|＜
成立，即对任意x＞0，

有
，（*）但对上述x0，取
时，

有 Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，

因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜
成立．

证法二 假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜
立．

由（Ⅰ）知，
的最小值为g（x）=1．

又
＞Inx，

而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），

∴x≥1 时，g（x） 的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，

使 g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，

故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞
，与假设矛盾．

∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜
成立．



　

座位号





雅安中学2013-2014学年下期高三3月试题 数学试题答题卷（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

非选择题 （考生须用0.5毫米黑色墨水签字笔书写）

二、填空题（每小题5分，共25分）

11． 12．

13． 14．

15．



三、解答题（75分）

16．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



17．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



18．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



19．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



20．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效



21．



请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效