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凉山州市高中2014届毕业班第二次诊断性检测

数 学（理科）

第I卷（选择题 50分）

选择题（共10个小题，每小题5分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合要求）

设集合
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

若命题
：
使
，则
为（ ）

A.

B.

C.

D.

如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1的球体的表面积是（ ）

A.

B.

C.

D.

从500张100元，3张200元，2张300元的冬奥会门票中任选3张，则3张相同的门票价格的概率是（ ）

A.
B.

C.
D.

如图所示的程序框图，如果输入
，那么输出的值为（ ）

A.45 B.5

C.15 D.90

函数
的零点个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

若
是双曲线
的两个焦点，点
是该双曲线上一点，满足
,则

A.4 B.5 C.
D.2

若顶点在原点，始边为
轴的非负半轴的钝角
的终边与圆
相交于
，射线
绕点O顺时针旋转30°后，与圆
相交于
，当
有最大值时，
（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设集合
，当
取遍区间
内的一切实数，所有的集合
的并集是（ ）

A.
B.
C.
D.

设函数
,当
时，
恒成立，当
取得最小值时，
值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 100分）

填空题（每小题5分，共5个小题，满分25分）

若
是纯虚数，且
，则
_______________.

在
的展开式中，系数为有理数的项共有________项.

已知
满足
，则点
到直线
的距离的最小值为_____________.

设函数
的值域为
，则实数
的值为_____________.

设数列
的前
项和为
，且
，给出下列四个命题： ①数列
是等比数列；②数列
是等比数列;③
常数
，使
恒成立；④若
恒成立，则
.以上命题中正确的命题是__________________（写出所有正确命题的序号）.

解答题（共6个小题，满分75分）

（本小题满分12分） 已知数列
是各项均为正数的等比数列，且
又
成等差数列.

（I）求数列
的通项公式；（II）求数列
的前
项和.

（本小题满分12分）在△ABC中，三个内角A,B,C所对应边分别为
，且
.

（I）求
的值； （II）若A,B,C成等差数列，求
的大小.

（本小题满分12分）三棱柱
，平面
⊥平面ABC，

,
，
.O,E分别是
中点.

（I）求证：
平面
;（II）求直线
与平面
所成角的大小.

（本小题满分12分）在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如下统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在
的学生通过自身努力能达到最低期望分数.

（I）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；（II）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；（III）设考试成绩在
的学生成绩如下：80,81，83，84，86，89，从分数在
的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为
,求
的分布列和期望.

（本小题满分13分）设非零平面向量
,
,规定
.
是椭圆

的左、右焦点,点
分别是其上的顶点，右顶点，且
,离心率

（I）求椭圆
的方程；（II）过点
的直线交椭圆
于点
，求：
的取值范围.

（本小题满分14分）设函数
.

（I）当
时，求
的最大值；（II）若
在定义域上恒为增函数，求
取值范围；

（III）设
是函数图像上任意两点，
的中点为
，若直线
是
的切线，且切点为
,且
，证明：
与
轴不可能垂直.