四川省2014届高三“联测促改”活动

数学理试题

一、选择题：

1.集合
，则

A.
B.
C.
D.

【答案】：C

2.复数
的共扼复数是

A.
B.
C.
D.

【答案】：B

3.“
”是“
”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件

【答案】：D

4.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

【答案】：C

5.已知菱形ABCD的对角线AC长为4，则

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】：D

6.设a,b为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列说法正确的是

A. 若a∥α，α⊥β，则a∥β B. 若a∥b，a∥β，则b⊥α

C. 若a∥α，b∥α，则a∥b D. 若a⊥b，a∥α，则b⊥α

【答案】：B

7.函数
的零点个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】：B

8.某算法程序框图如图所示，若
，则输出的结果是

A.
B.
C.
D.

【答案】：D

9.已知△ABC的周长为
，且
.若△ABC的面积为
,则角C的大小为

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

【答案】：B

10.过抛物线
的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线
,

则
与
的交点P的轨迹方程是

A.
B.
C.
D.

【答案】：A

二、填空题：

11.二项式
的展开式中的常数项是

【答案】：15

12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为

【答案】：

13.已知a,b是正数，且
，则ab的最小值为

【答案】：9

14.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若满足
的直线l共有3条，则实数

【答案】：4

15.在直角坐标系中，定义两点
之间的“直角距离”为
。现有下列命题：

①已知P (1,3)，Q(
) (
)，则d(P,Q)为定值；

②原点O到直线
上任一点P的直角距离d (O, P)的最小值为
;

③若
表示P、Q两点间的距离，那么
；

④设A(x,y)且
，若点A是在过P (1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个.

其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)

【答案】：①③④

三、解答题：

16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.

⑴求这6位同学成绩的平均数和标准差;

⑵从这6位同学中随机选出两位同学分析成绩的分布情况，设
为这两位同学中成绩低于平均分的人数，求
的分布列和期望.

【解析】：⑴这6位同学的成绩平均效为

又

故这6位问学成绩的标准差为s=7……………….6分

⑵随机变量
可能的取值为0,1,2，则

故
的分布列为

0

1

2



P











即
的数学期望
………………12分

17.( 12分)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A, B两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有
改选B菜;而选B菜的，下星期一会有
改选A菜。用
分别表示第
个星期选A的人数和选B的人数.

⑴试用
表示
，判断数列
是否成等比数列并说明理由;

⑵若第一个星期一选A神菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?

【解析】：⑴由题知，对
有
,

所以当
且
时,

∴当
时,{
}不是等比数列；当
时，{
}是以
为首项，
为公比的等比数列……………(7分)

⑵当
时，

∴第10个星期一选A种菜的大约有300人。…………..12分

18. (12分)已知向量
，函数
.

⑴设
，x为某三角形的内角，求
时x的值;

⑵设
，当函数
取最大值时，求cos2x的值。

【解析】：由题可知，
，

⑴当
时，
，

∵

∴

∵
为三角形的内角，∴
……………….5分

⑵当
时，
，其中
为锐角，且
，

当且仅当
时，函数
。

此时

∴
，则
...12分

19. (12分)已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=
AB。Q是PC上的一点，且PA∥平面QBD.

⑴确定Q的位置;

⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。

【解析】：⑴当
时，PA∥平面QBD，证明如下：

连结AC交BD于点M，

∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC

过PA的平面PAC
平面QBD=MQ,

∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.…………………4分

⑵设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).

∵PQ=2QC，∴

设平而QBD的一个法向量为
，

则

取
。

又平面CBD的一个法向量为

设二面角Q-BD-C的平面角为
，又
为锐角

∴

∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值
。………………12分

20.(13分)巳知椭圆
的离心率是
。

⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;

⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线
的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.

【解析】：⑴
,

∵点P(2,1)在椭圆上,∴
……………5分

⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：
.

设点C(2, 0)关于直线l的对称点为
，则

若点
在椭圆
上，则

设
，因此原问题转化为关于t的方程
有正根.

①当
时，方程一定有正根；

②当
时，则有

∴综上得
.

又椭圆的焦距为
.

故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………13分

21.(14分)已知函数
.

⑴求函数
在
处的切线方程；

⑵当
时，求证：
；

⑶若
，且
对任意
恒成立，求k的最大值。

【解析】：⑴

∴故切线斜率

∴所切线方程：
。………….3分

⑵由题可知：

∵

∴

∴
。………8分

⑶令

令
在
上单调递增。

∵

∴所以
存在唯一零点
，即
。

当
时，
；

当
时，
；

∴
在
时单调递减；在
时，单调递增；

∴

由题意
，又因为
，所以k的最大值是3。………………14分