四川省2014届高三“联测促改”活动

数学文试题

一、选择题：

1.集合
，则

A.
B.
C.
D.

【答案】：C

2.复数
的共扼复数是

A.
B.
C.
D.

【答案】：B

3.为了解某地区的中小学生的课业负担情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

【答案】：C

4.为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上的所有点

A.纵坐标伸长到原的2倍，横坐标不变 B.横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变

C.纵坐标缩短到原的
倍，横坐标不变 D.横坐标缩短到原的
倍，纵坐标不变

【答案】：D

5.“
”是“
”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件

【答案】：D

6.若
是夹角为60°的两个单位向量，则
与
的夹角为

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

【答案】：C

7.已知x,y满足约束条件
，设M，m分别为目标函数z=3x+5y的最大、最小值，则M–m，为

A. 9 B. 11 C. 17 D. 28

【答案】：D

8.某算法程序框图如图所示，若
，则输出的结果是

A.
B.
C.
D.

【答案】：D

9.已知△ABC的周长为
，且
.若△ABC的面积为
,则角C的大小为

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

【答案】：B

10.过抛物线
的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线
,

则
与
的交点P的轨迹方程是

A.
B.
C.
D.

【答案】：A

二、填空题：

11.函数
的最小值为

【答案】：2

12.

【答案】：2

13.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为

【答案】：

14.圆
：
与圆
：
的公共弦长等于 .

【答案】：

15.在直角坐标系中，定义两点
之间的“直角距离”为
。现有下列命题：

①若P, Q是x轴上两点，则
；

②已知P (1,3)，Q(
) (
)，则d(P,Q)为定值；

③原点O到直线
上任一点P的直角距离d (O, P)的最小值为
;

④设A(x,y)且
，若点A是在过P (1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个.

其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)

【答案】：①②④

三、解答题：

16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.

⑴求这6位同学成绩的平均数和标准差;

⑵从这6位同学中随机选出两位同学分析成绩的分布情况，求这两位同学中恰有一位同学成绩低于平均分的概率.

【解析】：⑴这6位同学的成绩平均效为

又

故这6位问学成绩的标准差为s=7……………….6分

⑵从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件空间为(76,76)、(76,78)、

(76,78)、(76,82)、(76,96)、(76,78)、(76,78)、(76,82)、(76,96)、(78,78)、

(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、 (78,96)、(82,96)15个基本事件。其中括号内数字分别表示2位同学的成绩.

记“选出的2位问学中，恰有1位同学的成绩低于平均分”为事件A，则事件A包含的基本事件为(76,82)、(76,96)、(76,82)、(76,96) 、(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、(78,96)共8个基本事件，则
。

故从6位同学中随机选取2位同学，恰有1位同学的成绩低于平均分的概率为
。……..12分

17.( 12分)已知向量
，函数
.

⑴设
，x为某三角形的内角，求
时x的值;

⑵设
，当函数
取最大值时，求cos2x的值。

【解析】：由题可知，
，

⑴当
时，
，

∵

∴

∵
为三角形的内角，∴
……………….6分

⑵当
时，
，

当且仅当
时，函数
。

此时

∴
…………….12分

18.( 12分)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A, B两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有
改选B菜;而选B菜的，下星期一会有
改选A菜。用
分别表示第
个星期选A的人数和选B的人数.

⑴试用
表示
，判断数列
是否成等比数列并说明理由;

⑵若第一个星期一选A神菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?

【解析】：⑴由题知，对
有
,

所以当
且
时,

∴当
时,{
}不是等比数列；当
时，{
}是以
为首项，
为公比的等比数列……………(7分)

⑵当
时，

∴第10个星期一选A种菜的大约有300人。…………..12分

19.(12分)已知四债铁P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形, ∠ABC= ∠BCD=90°，PB=BC=CD=
AB. Q是PC上的一点.

⑴求证：平面PAD⊥面PBD;

⑵当Q在什么位置时，PA∥平面QBD?

【解析】：⑴∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=
AB,

设BC=1，则AD=BD=
，∴

又PB⊥平面ABCD.∴PB⊥AD

又因为BD，PB在平面PBD内，且BD与PB相交，

∴AD⊥平面PBD

又AD
面PAD，

所以平面PAD⊥平面PBD。…………………6分

⑵当PQ=2QC时，PA∥平面QBD,证明如下，连结AC交BD于点O，连接OQ,

∵2CD=AB,CD∥AB,∴AO=2OC

过PA的平面PAC
平面QBD=OQ,

∵PA∥平面QBD,∴AP∥OQ,∴PQ=2QC.…………………12

20.(13分)定义在实数集上的函数
。

⑴求函数
的图象在
处的切线方程;

⑵若
对任意的
恒成立，求实数m的取值范围。

【解析】：⑴∵
,当
时，

∵

∴所求切线方程为
。……….(4分)

⑵令

∴当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；

要使
恒成立，即
.

由上知
的最大值在
或
取得.

而

∴实数m的取值范围
。…………..13分

21.(14分)巳知椭圆
的离心率是
。

⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;

⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线
的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.

【解析】：⑴
,

∵点P(2,1)在椭圆上,∴
……………4分

⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：
.

设点C(2, 0)关于直线l的对称点为
，则

若点
在椭圆
上，则

设
，因此原问题转化为关于t的方程
有正根.

①当
时，方程一定有正根；

②当
时，则有

∴综上得
.

又椭圆的焦距为
.

故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………14分