吉林省九校联合体2014届第二次摸底考试

数 学 试 题（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
,则复数
在复平面内对应的点在 ( )

A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3．在等差数列
中，
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．抛物线
的准线经过双曲线
的左焦点，则

（ ）

A.
B.
C.
D.

5．将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象的解析式是（ ）

A.
B.

C.
D.

6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中

有3的概率为（ ）

A.

B.
C.
D.

7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．

C．1 D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )

A.20 B.30 C.40 D.50

9.一个空间四边形
ABCD的四条边及对角线AC的长均为
，二面角
的余弦值为
，则下列论断正确的是（ ）

A.四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为

B.四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为

C.四边形ABC的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为

D.不存在这样的球使得四边形ABCD的四个顶点在此球面上

10．如图，在四面体OABC中，
则
（ ）

A.
B.

C.
D.

11．已知函数
是定义在R上的增函数，函数
的图象关于点
对称。若对任意的
恒成立，则当
时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

1
2．若
其中
为两两不等的非负整数，令
则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．将某班的60名学生编号为：
采用系统抽样方法抽取一个容量为5的

样本，且随机抽得的一个号码为
，则剩下的四个号码依次是

14．设
,则
的展开式中含
项的系数是

15．在
中，
边上的高为
，则

16．若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点A,B都在函数
的图象上；②点A,B关于原点对称，则称
是函数
的一个“姊妹点对”（
与
可看作同一点对）。已知
，则
的“姊妹点对”有_____个

三．解答题：（本大题共6小题，共60分）

17. ( 本小题满分12分) 已知
为锐角，且
，函数
，数列
的首项
，
.

（1）求函数
的表达式；（2）求数列
的前
项和
.

18. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
，
．

(1)若点
是
的中点，求证：
平面
（2）试问点
在线段
上什么位置时，二面角
的余弦值为
.

19．( 本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：
）进
行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量

1

1.5

2



频数

10

25

15



频率

0.2









求表中的
的值；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求:

① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5
的概率;

② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,
表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求
的分布列和期望.

20．( 本小题满分12分) 已知点
，直线
P为平面上的动点，过点P作直线
的垂线，垂足为Q,且

求动点P的轨迹C的方程；

已知圆M过定点
，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与
轴交于A,B两点，设
求
的最大值。

21．( 本小题满分12分) 已知函数
在
处取得极值
.

求
的
表达式；

设函数
.若对于任意的
，总存在唯一的
，使得
，求实数
的取值范围.

选考题：（本小题满分10分）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点

（1）求证：BD平分∠ABC

（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长

23. 已知某圆的极坐标方程为

（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点
在该圆上，求
的最大值和最小值．

24. 已知关于
的不等式

（1）当
时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数
的取值范围．

吉林省九校联合体2014届第二次摸底考试

数学试题
（理科）参考答案

一、DDBCB AABAC CB[来源:学+科+网]

二、13、16,28,40,52 14、40
15、
16、2

三、

17、（Ⅰ）由
，---------2分

是锐角，
------------4分

----------------6分

（Ⅱ）
，
，----------------8分

,
,
是首项为
,公比
的等比数列,
- --------------10分

-------------
12分

18、（1）证明：连接
，设
，连接
，

由三角形的中位线定理可得：
,-------------2分

∵
平面
，
平面
，∴
平面
．

-------------4分

（2）建立如图空间直角坐标系，

在
中，斜边
,得
，所以，
.

设
，得
.

设平面
的一个法向量
，由
得
，

取
，得
. -------------8分

而平面
的法向量
，所以由题意
，即
，

解得
（舍去）或
，所以，当点
在线段
的中点时，二面角
的余弦值为
. -------------12分

19、（1）由题意知：
-------------2分

①依题意，随机选取一天，销售量为1.5
的概率
，设5天中该种商品有
天的销售量为1.5
，则

，
-------------5分

②
的可能取值为
，则：

，

，
的分布列为：

4

5

6

7

8





0.04

0.2

0.37

0.3

0.09




-------------10分

所以：

-------------12分

20、设

代入已知可得，轨迹C的轨迹方程为
-------------4分

（2）设
则

圆M的方程为
---------6分

令
则

不妨设

-----------10分

时，

时，

当且仅当
时等号成立。 -----------12分

综上，
的最大值为
。

21、（1）
.------------1分

由
在
处取得极值
，故
，即
，

-------------3分

解得：
，

经检验：此时
在
处取得极值，故
.--------5分

由（1）知
，故
在
上单调
递增，在
上单调递减，由
，
，故
的值域为
，依题意： -----------7分

，记
，

①当
时，
，