2014届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）

数学（理）

一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.若
，则

2.若
，其中
都是实数，
是虚数单位，则
=

3.现在某类病毒记作
，其中正整数
，
（
，
）可以任意选取，则

都取到奇数的概率为

4.抛物线
的焦点为
，点
在此抛物线上，且
，则
______

5.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：
）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为

6.平行四边形
中，
=（1，0），
=（2，2），则
等于

7.已知关于
的二项式
展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则
的值为 8.在△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
，则
=

9.用半径为
cm，面积为
cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是

10.已知椭圆
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
，椭圆方程为

11.设
为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
若“对于任意
，
”是假命题，则
的取值范围为　　　　　　

12.已知
，等比数列
中，
，
，数列
的前2014项的和为0，则
的值为

13.
表示不超过
的最大整数，若函数
，当
时，
有且仅有3个零点，则
的取值范围为 .

14.在平面直角坐标系
中，已知圆O：
，点
，M，N为圆O上不同的两点，且满足
．若
，则
的最小值为

二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

15.如图，在复平面内，点
表示复数
，则图中表示
的共轭复数的点是

A．
B.
C．
D．

16.“
”是“
存在”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件.

C.充分条件. D.既不充分也不必要条件.

17.已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐不变），得到函数
的图象，则关于
有下列命题，其中真命题的个数是

①函数
是奇函数；

②函数
不是周期函数；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④函数
的最大值为

A.1 B.2 C.3 D.4

18.如图，
、
分别为棱长为1的正方体的棱
、
的中点，点
、
分别为面对角线
和棱
上的动点（包括端点），则下列关于四面体
的体积正确的是

A此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；

B此四面体的体积为定值；

C此四面体体积只存在最小值；

D此四面体体积只存在最大值。

三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，

侧面
是正三角形，平面
底面
．

（1） 证明：
平面

（2）求二面角
的余弦值

20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

已知函数
的一个零点是

（1）求实数
的值 （2）设
，求
的单调递增区间．

21.（本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分 ）

已知函数

（1）判断函数f (x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；

（2）如果关于x的方程f (x) = kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

22.（本题满分16分；第1小题满分8分，第2小题满分8分）

如图，已知椭圆
的左焦点为
，过点
的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点．

（1）若点
的横坐标为
，求直线
的斜率；

（2）记△
的面积为
，△
（
为原点）的面

积为
．试问：是否存在直线
，使得
？说明理由．

23.（本题满分18分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分）

如图所示，图像为数列
的前
项的和
，

为数列
的前
项的和，且
.

（1）求数列
、
的通项公式

（2）找出所有满足：
的自然数
的值（不必证明）

（3）若不等式
对于任意的
，
恒成立，求实数
的最小值，并求出此时相应的
的值

答案

一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.
2.
3.
4.
5.31.6（写成
也对）

6.4 7.2 8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

15. B 16. D 17. A 18.A

三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

（1）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，

又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD．

（2）由（1）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=
．

设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角．又AE=
，BE=
，所以cos∠AEB=
=

（建立空间直角坐标系也可）

20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

（1）依题意，得
， 即
， 解得
．

（2）解：由（1）得