烟台开发区高级中学2014届高三第一学期第二次月考

数学（理）试题（２０１３.１２.２０）

一、填空题　（每小题５分，共６０分）

1. .已知集合
，则
（　 　）

Ａ.
B.
C.
D.

2．如果等差数列
中，
，那么
等于

A．21 B．30 C．35 D．40

3．“
”是“直线
与直线
垂直”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．将函数y=
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴为． （ ）

A．
B．
C．
D．

5．若直线l：y=kx+1被圆C：x2+ y2 －2x－3=0截得的弦最短，则直线l的方程是

A．x=0 B．y=l C．x+y－l=0 D．x－y+l=0

6．设
是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是

A．
B．
，则

C．
，则
D．
，则

7．函数
在
上的图象是

8．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且
Sn=2(an—1)，则a2等于( )

A. 4 B. 2 C. 1 D. -
2

9．设
、
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且

AB为⊙O的直
径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；③点
B到平面PAC的距离等于线段BC的长．

其中正确的是(　　)

A．①② B．①②③ C．① D．②③

11.过双
曲线
上任意一点
，作与实轴平行的直线，交两渐近线于
、
两点，若
，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C .
D .

12.已知
是圆
：
上的两个点，
是

线段上的动点，当
的面积最大时，则
的最大值是（ ）

A.-1 B. 0 C.
D.

二、填空题　（每小题４分，共１６分）

13. 在△ABC中，若a=3，b=
，∠A=
，则∠C的大小为_____.

14、曲线
在点（1,2）处的切线方程为＿＿＿＿.

15. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图

都是半径为
的圆，且这个几何体是球体
的一部分，则这个几何

体的表面积为________________．

16、数列
满足：
，若数列

有一个形如
的通项公式，其中
均为实数，且
，则
=_________，
=_______ ；[来源:学科网]

三、解答题

17．（本小题满分12分）

已知向量

（1）若
的夹角;

（2）当
时，求函数
=
+1的最大值.[来源:学科网]

18．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
．

（1）求
与
；

（2）证明：
．

19. （本小题满分12分）

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，

F为CE的中点。

（1）求证：AF⊥CD；

（2）求直线AC与平面CBE所成角的大小的余弦值。

20.（本小题满分12分
）

小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第
年年底出售，其销售价格为25
万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.

（I）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

（II在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？）

（利润=累计收入+销售收入-总支出）

21．（本小题满分13分）

已知左焦点为
的椭圆过点
．过点
分别作斜率为
的椭圆的动弦
，设
分别为线段
的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若
为线段
的中点，求
；

（3）若
，求证直线
恒过定点，并求出定点坐标．

22. （本小题满分13分）

已知函数
，（其中常数
）

（1）当
时，求
的极大值；

（2）试讨论
在区间
上的单调性；

（3）当
时，曲线
上总存在相异两点
、
，使得曲线
在点
、
处的切线互相平行，求
的取值范围.

数学试题参考答案

一、选择题 1—5 ＢＣＡＣＤ　　６－１０　ＢＡＡＢＢ　　１１－１２　　ＣＣ

二、填空
题 13.
90度 14. 3x＋y－5＝0 15. 4 π 16.
，

三、解答题 中学联盟网

17．解：（1）当
，

（2）

，

当
，即

18．解：（1）设
的公差为
，因为
所以

解得
或
（舍），
． 故
，
．

（2）因为
，所以
．

故

因为
≥
，所以
≤
，于是
≤
，

所以
≤
． 即
≤

19、（1）证明：取CD的中点G，连接AG、GF，则GF//DE

∵AC=A
D，∴AG⊥CD ∵DE⊥平面ACD ∴DE⊥CD
∴GF⊥CD

∵
∴CD⊥平面AGF ∵AF
平面AGF ∴AF⊥CD

（2）解：分别以
、
、
为
、
、
轴建立如图空间直角坐标系
，

设直线AC与平面CBE所成角为
，则

∴直线AC与平面CBE所成角的余弦值为

21、解 （1）由题意知
设右焦点

椭圆方程为

（2）设

则
①
②

②-①，可得

（3）由题意
，设
直线

，

即
代入椭圆方程并化简得

同理

当
时， 直线
的斜率

直线
的方程为

又
化简得
此时直线过定点（0，
）

当
时，直线
即为
轴，也过点（0，
）

综上，直线过定点（0，
）[来源:学科网ZXXK]

22、解（1）当
时，

当
，
时，
；当
时，

∴
在
和
上单调递减，在
单调递减

故
[来源:学科网]

（2）

①当
时，则
，故
时，
；
时，

此时
在
上单调递减，在
单调递增；[来源:Z+xx+k.Com]

②当
时，则
，故
，有
恒成立，

此时
在
上单调递减；

③当
时，则
，故
时，
；
时，

此时
在
上单调递减，在
单调递增；

（3）由题意，可得
（
，且
）

即

∵
，由不等
式性质可得
恒成立，又

∴


对

恒成立

令
，则

对
恒成立 ∴
在
上单调递增，∴

故

从而“
对
恒成立”等价于“
”

∴
的取值范围为