烟台开发区高级中学2013-2014学年第一学期第二次月考

数学试题（文）2013-12-19

一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）

1．已知全集
，集合
，集合
，则下列结论中成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

A．



B．


[来源:Zxxk.Com]

C．

2

D．

4



2.已知向量
=（1，x），
=（﹣1，x
），若2
﹣
与
垂直，则|
|=（　　）

3.已知
为锐角，
，
，则
的值为（ ）

A．

B．
C．
D．

4.如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一

直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）

5.已知两条直线
,
平行,则
（　　）

A．-1 B．2 C．0或-2 D．-1或2

6.已知
，
满足
则
的最大值为（ ）

A
B
C
D

7.已知
则下列结论中不正确的是( )

A．函数
的最小正周期为

B．函数
的最大值为

C．函数
的图象关于点
成中心对称

D．将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象

8.函数
的图象大致是 （　　）

A． B． C． D．

9.已知
船在灯塔
北偏东
且
到
的距离为
，
船在灯塔
西偏北
且
到
的距离为
，则
两船的距离为（ ）www.zxxk.com

A.
B.
C.
D.

10. 若正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A． 4 B．
C．3 D．

11.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）

A．
B。
C。
D。2

12.设偶函数
满足：当
时，
，则

=（ ）

A．
B．
C．

D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13.
则
=

14.已知各项为正的等比数列
中，
与
是函数
的零点，则
=

15.在
中，
，
，
， C 、D分别是线段OB和AB的中点，那么

16.如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E、F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：

①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；

③四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；

④正方体ABCD﹣A′B′C′D′被截面MENF平分成等体积的两个多面体．

以上命题中正确的命题是

三．解答题：（本部分共计6小题，满分74分）

17.(本小题满分12分)

已知圆C的圆心在直线
上
，且过点
；

（1）求圆C的标准方程；

（2）线段MN的端点M的坐标是（10，8），端点N是圆C上的动点，且
，求P点的轨迹方程。

18. (本小题满分12分)

已知函数
.

（I）求函数
的最小值和最小正周期；

（II）设
的内角
的对边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值.

19. (本小题满分12分) 如图，矩形
中，
，
．
，
分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

20. (本小题满分12分)

设数列
为等差数列，且
；数列
的前n项和为
，且
。

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若
，
为数列
的前n项和，求
。

21. (本小题满分13分)

已知椭圆
：

的离心率
，原点到过点
，
的直线的距离是
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线

交椭圆
于不同的两点
，
，且
，
都在以
为圆心的圆上,求
的值.

22. (本小题满分13分)

已知函数
，

（1）判断函数
的奇偶性；

（2）求函数
的单调区间；

（3）若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围．

[来源:学科网ZXXK]

18.解:（I）
=
…………3分

则
的最小值是-2,最小正周期是
. ……………………6分

（II）
,则
=1,

,
,

,
, ………………………………………………8分

向量
与向量
共线

， ……………………………………………………10分

由正弦定理得，
　　　　 ①

由余弦定理得，
，即3=
　　②

由①②解得
. ……………………………………………………12分

19.解：

（Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形，

所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分[来源:学_科_网Z_X_X_K]

因为
平面
，

所以
∥平面
． ………………4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
，

所以
平面
， ……5分

所以
． ………6分

又
， 所以四边形
为正方形，所以
． …………7分

所以
平面
，
………8分

所以
． ………9分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．

由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
． ………10分

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………12分

20.

21.解(Ⅰ) 因为
，
，

所以
.

因为原点到直线
：
的距离
，

解得
，
.

故所求椭圆
的方程为
. ……………………………6分

(Ⅱ) 由题意

消去
，整理得

.

可知
.

设
，
，
的中点是
，

则
，
.

所以
.

所以
.

即
.

又因为
，

所以
.所以
. ………………………………13分

22.

解：（Ⅰ）函数
的定义域为{
且
} ………………… 1分

且

∴
为偶函数 ………………… 3分

（Ⅱ）当
时，

若
，则
，
递减； [来源:学#科#网]

若
， 则
，
递增． ………………… 5分

再由
是偶函数，得
的

递增区间是
和
；

递减区间是
和
． ………………… 7分

（Ⅲ）方法一：

要使方程
有实数解，即要使函数
的
图像与直线
有公共点．

函数
的图象如图．………………… 8分

先求当直线
与
的图象相切时
的值．

当
时，

设切点为

，则切线方程为

，将
代入，得[来源:学&科&网]

即
（*） ……………… 9分

显然，
满足（*）

而当
时，
，

当
时，

∴（*）有唯一解
………………… 11分

此时

再由对称性，
时，
也与
的图象相切，………………… 12分

∴若方程
有实数解，则实数
的取值范围是（－∞，