高三数学理科限时训练（2014.1.5）

一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

1. 已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设复数
的共轭复数为
，若
则复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 若
，
是夹角为
的单位向量，且
，
，则
（ ）[来源:学*科*网]

A．
B．
C．
D．

4. 已知各项不为
的等差数列
，满足
，数列
是等比数列，且
，则
（ ） A. 2 B.
C.
D.

5.已知命题p：
，命题q：
，则
是
成立的 （ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知函数
为奇函数，
，则
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．π＋
B．2π＋

C．π＋
D．2π＋

8. 已知
、
为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）[来源:学§科§网Z§X§X§K]

A．若
,
,且
,则

B．若平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等，则

C．若
，则
D．若
，则

9．如果函数
的图象关于点A（1，2）对称，那么( )

A．p＝－2，n＝4 B．p＝2，n＝－4 C．p＝－2，n＝－4　 D．p＝2，n＝4

10.直线
与圆
相交于A、B两点，若弦AB的中点为（-2，3），则直线
的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知实数
满足约束条件
若函数
的最大值为1，则
的最小值为 （
）A.
B.
C.
D.

1
2.已知集合M={
}，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M={
}；　　②M={
}；

③M={
}；④M={
}．

其中是“垂直对点集”的序号是（ ）

A.①② B.②③ C.①④ D.②④

第II卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．已知两条直线
互相平行，则
等于_______.

14.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为 .

15. 椭圆
的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2
.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 .

16.已知
，则函数
的零点的个数为_______个.

三、解答题：（本大题共有6个小题，共74分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

17.（本小题满分12分）已知向量

，若
.

（1）求函数
的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求函数
在区间
上的值域.

18． (本题满分12分) 数列
的前
项和为
，
，

，等差数列
满足
.

（1）分别求数列
，
的通项公式；

（2）设
，求证
．

19.（本小题满分12分） 设命题
关于
的二次方程
的一个根大于零，另一根小于零；命题
不等式
对
上恒成立,如果命题“
”为真命题, 命题“
”为假命题,求实数
的取值范围.

20. （本小题满分12分）三棱锥
,底面
为边长为
的正三角形，平面
平面
，
,
为
上一点，
，
为底面三角形中心.

（Ⅰ）求证
∥面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）设
为
中点，求二面角
的余弦值.

21．（本小题满分13分）已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
,且椭圆经过点
，

(I)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线
与椭圆C交于不同的两点A,B满足
·
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由. [来源:

22.（本小题满分13分）已知函数
在
点
处的切线方程为
，且对任意的
，
恒成立.

（Ⅰ）求函数
的解析式；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（Ⅱ）求实数
的最小值；

（Ⅲ）求证：
（
）

附加题：在实数集R上定义运算：
（Ⅰ）求F(x)的解析式；山东中学联盟

（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

高三理科数学限时练习答案[来源:学&科&网Z&X&X&K]

ADCDB CADAA AD -3或1；
；
； 5.

17.解：（1）

=

=
.
，图象的对称轴方程为
Z）.

（2）由于区间
的长度为
，为半个周期.

又
在
处分别取到函数的最小值

，最大值
，所以函数
在区
间
上的值域为

18. 解：（1）由
----① 得
----②，

①
②得
，
…………………………………………2分

； ………………………………………………………………………………3分

………………4分
……………………6分

（2）因为
……8分所以
………9分

所以
………10分
…………11分

所以
………………………………………………………12分

19.解：令
，因为关于
的二次方程
的一个根大于零，另一根小于零，所以
，即：
，解得：命题
为真时
………3分

因为
，所以由不等式
可得：
，令
，由
在
上单调递增，故
.又不等式
对
上恒成立,所以命题
为真时
. ………7分

因为命题“
”为真命题, 命题“
”为假命题,所以

（1）若
真
假，得
………9分（2）若
假
真，得
. ………11分

综上可得：
或
. ………1
2分

20.（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连结
交
于点
，连结
.
为正三角形
的中心，

∴
,且
为
中点.又
，

∴
∥
, --------------2分

平面
，
平面

∴
∥面
． --------------4分

（Ⅱ）
,且
为
中点, ∴
,

又平面
平面
，∴
平面
, ------------5分

由（Ⅰ）知，
∥
，∴
平面
,∴
----------6分

连结
,则
,又
,

∴
平面
,∴
． -----------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
两两互相垂直，且
为
中点，所以分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，则

------------9分

∴
设平面
的法向量为
，

则
，

令
，则
． --------------10分

由（Ⅱ）知
平面
,∴
为平面
的法向量，

∴
，

由图可知，二面角
的余弦值为
． --------------12分

21.解:(1)设椭圆C的标准方程为
,由题意得

,由
得
故椭圆C的标准方程为
.

(2)若存在过点P(2,1)的直线
满足条件,则
的斜率存在 .

22. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）将
代入直线方程得
，∴
① --------------1分

，∴
② --------------2分

①②联立，解得
∴
--------------3分

（Ⅱ）
，∴
在
上恒成立；

即
在
恒成立；
--------------4分

设
，
，∴只需证对于任意的
有
-5分

设
，

1）当
，即
时，
，∴

在
单调递增，∴