上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学（理）试题

（完卷时间120分钟，满分150分）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

已知
，
，则
．

已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围

是 ．

设等差数列
的前项和为
，若
，
，

则
等于 ．

若
是纯虚数（
是虚数单位），则实数
的值为 ．

抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是 ．

执行右图的程序框图，如果输入
，则输出的
值为 ．

不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

若
是
展开式中
项的系数，

则
．

已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为
，圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积为 ．

若点
在曲线
（
为参数，
）上，则
的取值范围是 ．

从
这
个整数中任意取
个不同的数作为二次函数
的系数，则使得
的概率为 ．

已知点
为椭圆

的左焦点，点
为椭圆
上任意一点，点
的坐标为
，则
取最大值时，点
的坐标为 ．

13、已知
、
、
为直线
上不同的三点，点
直线
，实数
满足关系式

，有下列命题：

①
； ②
；

③
的值有且只有一个； ④
的值有两个；

⑤ 点
是线段
的中点．

则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）

14、已知数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
，

设
若在数列
中，
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．

15、若
，则“
成立”是“
成立”的 （ ）

（A）充分非必要条件 　 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 　 （D）既非充分又非必要条件

16、下列函数中，既是偶函数，又在区间
内是增函数的为 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

17、已知
和
是两条不同的直线，
和
是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出
的是 （ ）

（A）
且
（B）
且

（C）
且
（D）
且

18、对于函数
，若存在区间
，使得
，

则称函数
为“可等域函数”，区间
为函数
的一个“可等域区间”．

给出下列4个函数：

①
；②
；

③
； ④
．

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）

（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④

三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．

19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．

在△
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、
，

且
．

（1）若
，
，求
的值；

（2）若
，求
的取值范围．

20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．

如图，几何体
中，
为边长为
的正方形，
为直角梯形，
，
，
，
，
．

（1）求异面直线
和
所成角的大小；

（2）求几何体
的体积．

21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．

为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本
（万元）与处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨废弃物可得价值为
万元的某种产品，同时获得国家补贴
万元．

（1）当
时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；

如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．

已知数列
中，
，对任意的
，
、
、
成等比数列，公比为
；
、
、
成等差数列，公差为
，且
．

（1）写出数列
的前四项；

（2）设
，求数列
的通项公式；

（3）求数列
的前
项和
．

23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．

如图，圆
与直线
相切于点
，与
正半轴交于点
，与直线
在第一象限的交点为
. 点
为圆
上任一点，且满足
，动点
的轨迹记为曲线
．

（1）求圆
的方程及曲线
的方程；

（2）若两条直线
和
分别交曲线
于点
、
和
、
，求四边形
面积的最大值，并求此时的
的值．

（3）证明：曲线
为椭圆，并求椭圆
的焦点坐标．

2014年上海市高三年级 六校联考

数学试卷（理科）答案

一、填空题

1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13．①③⑤ 14．

二、选择题

15. C 16. A 17. C 18. B

三、解答题

19.　解：（1）在△
中，
．

所以

．

，所以
． ………………3分

由余弦定理
，

得
．

解得
或
． ………………6分

（2）

. ………………9分

由（1）得
，所以
，
，

则
.

∴
.

∴
.

∴
的取值范围是
. ………………12分

20.　解：（1）解法一：在
的延长线上延长至点
使得
,连接
.

由题意得，
，
，

平面
，

∴
平面
，∴
，同理可证
面
.

∵
，
，

∴
为平行四边形，

∴
.

则
（或其补角）为异面直线
和

所成的角. ………………3分

由平面几何知识及勾股定理可以得

在
中，由余弦定理得

．

∵ 异面直线的夹角范围为
，

∴ 异面直线
和
所成的角为
． ………………7分

解法二：同解法一得
所在直线相互垂直，故以
为原点，
所在直线

分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分

可得
，

∴
，

得
. ………………4分

设向量
夹角为
，则

．

∵ 异面直线的夹角范围为
，

∴ 异面直线
和
所成的角为
． ………………7分

（２）如图，连结
，过
作
的垂线，垂足为
，则
平面
，且
.

………………9分

∵

……………11分

.

∴ 几何体
的体积为
.……14分

21.　解：（1）根据题意得，利润
和处理量
之间的关系：

………………2分

，
.

∵
，
在
上为增函数，

可求得
. ………………5分

∴ 国家只需要补贴
万元，该工厂就不会亏损． ………………7分

（2）设平均处理成本为

………………9分

， 　 ………………11分

当且仅当
时等号成立，由
得
．

因此，当处理量为
吨时，每吨的处理成本最少为
万元． 　 ………………14分

22. 解：（1）由题意得

，
，
或
. 　 ………………2分

故数列
的前四项为
或
. 　 ………………4分

（2）∵
成公比为
的等比数列，

成公比为
的等比数列

∴
，

又∵
成等差数列，

∴
.

得
，
， 　 ………………6分

，

∴
，
，即
.

∴ 数列数列
为公差
等差数列，且
或
. 　……8分

∴
或
. ………………10分

（3）当
时，由（2）得
.

，
，

，

. ………………13分

当
时，同理可得
，
. ………………16分

解法二：（2）对
这个数列，猜想
， 下面用数学归纳法证明：

ⅰ）当
时，
，结论成立.

ⅱ）假设
时，结论成立，即
.

则
时，

由归纳假设，
. 由
成等差数列可知
，于是
，

∴
时结论也成立.

所以由数学归纳法原理知
. ………………7分

此时
.

同理对
这个数列，同样用数学归纳法可证
. 此时
.

∴
或
. ………………10分

（3）对
这个数列，猜想奇数项通项公式为
.

显然结论对
成立. 设结论对
成立，考虑
的情形.

由（2），
且
成等比数列，

故
，即结论对
也成立.

从而由数学归纳法原理知
.于是
（易见从第三项起每项均为正数）以及
，此时
. ………………13分

对于
这个数列，同样用数学归纳法可证
，此时
.

此时
. ………………16分

23. 解：（1）由题意圆
的半径
，

故圆
的方程为
. ………………2分

由
得，
，

即
，得

（
）为曲线
的方程.（未写
范围不扣分）…4分

（2）由
得
，
，

所以
，同理
. ………………6分

由题意知
，所以四边形
的面积
.

，

∵
，∴
. ………………8分

当且仅当
时等号成立，此时
.

∴ 当
时，四边形
的面积最大值为
. ………………10分

（3）曲线
的方程为
（
），它关于直线
、
和原点对称，下面证明：

设曲线
上任一点的坐标为
，则
，点
关于直线
的对称点为
，显然
，所以点
在曲线
上，故曲线
关于直线
对称，

同理曲线
关于直线
和原点对称.

可以求得
和直线
的交点坐标为

和直线
的交点坐标为
，

，
，
，
.

在
上取点
.

下面证明曲线
为椭圆：

ⅰ）设
为曲线
上任一点，则

（因为
）

.

即曲线
上任一点
到两定点
的距离之和为定值
.

ⅱ）若点
到两定点
的距离之和为定值
，可以求得点
的轨迹方程为
（过程略）.

故曲线
是椭圆，其焦点坐标为
. ………………18分

第（3）问说明：

1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，

2. 直接写出焦点
的坐标给3分，未写出理由不扣分.