2014年青浦区高考数学一模卷

（满分150分，答题时间120分钟）

学生注意：

1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.

3.可使用符合规定的计算器答题.

一、填空题（本大题满分56分）本
大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.(2014年1月青浦)在直角坐标系内，到
点（1,0）和直线
距离相等的点的轨迹方程是
．

【解析】（解释性理解水平/点的轨迹方程）由题意知，该点的轨迹是抛物线，其中抛物线的焦点坐标为
，故点的轨迹方程为
.

2. (2014年1月青浦)已知全集U=R，集合
,且
=R，则实数a的取值范围是
．

【解析】（探究性理解水平/集合的并集、补集运算，集合的描述法）由
，且
，则易得
.

3. (2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中
，则

．

【解析】（探究性理解水平/等比数列的性质，等比中项）由等比数列的性质得：
,
.

4. (2014年1月青浦)已知点
，则向量
在
方向上的投影为
．

【解析】(探究性理解水平/平面向量的数量积，向量的投影) 依题意，
[来源:Z§xx§k.Com]

,设
与
夹角为
，则
，
在
方向上的投影为
.[来源:学§科§网Z§X§X§K]

5. (20
14年1月青浦)已知
，且
，则

．

【解析】(探究性理解水平/同角三角比的关系，诱导公式)
，则
，
，所以


.

6. (2014年1月青浦)已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为
，则该圆锥的体积是
．

【解析】(探究性理解水平/圆锥的体积)设圆锥底面圆的半径为r，高为h，侧棱与底面所成角为
，则

，又
，所以圆锥的体积为

.

7. (2014年1月青浦)要使函数
在区间[2,3]上存在反函数，则实数a的取值范围是
或
．

【解析】（探究性理解水平/反函数，函数的单调性）要使函数
在区间
上存在反函数，则函数
在区间
上单调，则
或
，即
或
.

8. (2014年1月青浦)已知
，则实数q的取值范围是
．

【解析】（解释性理解水平/极限的计算）因为
，故
，故
，则
的取值范围为
.

9. (2014年1月青浦)已知定义域为R上的偶函数f(x)在
上是减函数，且
，则不等式
的解集为
．[来源:Z#xx#k.Com]

【解析】（探究性理解水平/函数的奇偶性、单调性）由题意可知函数

在
上是
增函数，则有
，即
，所以不等式
的解集为
.

10.
(2014年1月青浦)已知集合
，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是
．

【解析】（解释性理解水平、探究性理解水平/随机事件的概率，加法原理，组合与组合数）因为A中有5个元素，所以其非空子集的个数为
.该集合中所有元素之和为奇数的情况有5种情况：①集合中含有1个元素的情况有
种；②集合中含有2个元素的情况有
种；③集合中含有3个元素的情况有
种；④集合中含有4个元素的情况有
种；⑤集合中含有5个元素的情况有1种，故该集合中所有元素之和为奇数的概率为：
.

11. (2014年1月青浦)点P在
上，若
,则
26 ．

【解析】(探究性理解水平/双曲线的简单几何性质)由题意知
，设
分别为双曲线的左、右焦点，则点P在双曲线的右支上，根据双曲线的几何性质，有
，所以
.

12. (2014年1月青浦)已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式
．

【解析】（探究性理解水平/扇形的周长、面积公式）由题意，扇形的半径为x，周长为l，则扇形的弧长为
，所以扇形的面积为
.

又
，解得
，故

13. (2014年1月青
浦)**已知直角坐标平面上任意两点
，定义[来源:Z§xx§k.Com]

为
两点的“非常距离”.当平面上动点
到定点
的距离满足
时，则
的取值范围是
．

【解析】（探究性理解水平/数学概念的新定义，数形结合的思想）由题意可知点M在以A为圆心，
为半径的圆周上，如图所示：

第13题图

由“非常距离”的新定义可知：当
时，
取得最小值，

；当
或
时，
取得最大值，
，故
的取值范围为

14. (2014年1月青浦)**若不等式
对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是
．

【解析】（探究性理解水平/不等式恒成立，求参数）当
为奇数时，不等式可化为
，要使不等式对任意自然数n恒成立，则
；当
为偶数时，不等式可化为
，要使不等式对任意自然数n恒成立，则

，即
.综上，
.

二、选择题（本大题满分20分）
本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. (2014年1月青浦)指数函数
在R上是减函数，则函数
在R上的单调性为 （D
）

A.单调递增 B.单调递减

C.在
上递减，在
上递增 D.在
上递增，在
上递减

【解析】（探究性理解水平/指数函数的单调性，二次函数的单调性）因为指数函数
在R上是减函数，则
，所以
，故函数
开口向下，故
在区间
上递增，在区间
上递减，故选D.

16. (2014年1月青浦)直线
的倾斜角的取值范围是 （C）

A.

B.
C.
D.

【解析】（探究性理解水平/直线的倾斜
角与斜率的关系，基本不等式）①当
时，斜率不存在，即倾斜角为
；②当
时，直线的斜率
，即直线的倾斜角的取值范围为
.当
时，直线的斜率

，即直线的倾斜角的取值范围为
.综上，直线的倾斜角的取值范围为
，故选C.

17. (2014年1月青浦)设等差数列
的前
项和为
且满足
则
中最大的项为 （C）

A.
B.
C.
D.

【解析】(探究性理解水平/等差数列的性质及其前n项和) 由于

，
所以可得
且公差
.

所以
又

且
，所以在
中最大的项是
，故选C.

18. (2014年1月青浦)**对于函数
，若在定义域内存在实数x，满足
，称
为“局部奇函数”，若
为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是 （B）

A.
B.

C.
D.

【解析】(探究性理解水平/函数奇偶性的新定义，二次函数的性质，换元法）
为“局部奇函数”，∴存在实数
满足
，即

，令
，则
，即[来源:学科网]

在t>0有解，再令
，则

在
有解.函数关于h的对称轴为h=m，①当
时，
，
，解得
；②当
时，则
，即
，解得
.综合①②，可知
.故选B.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. (2014年1月青浦) (本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题6分.

在△
中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
，
,

且
.

（1）求角C的大小；

（2）若
, 且
，求c的边长.

【解】(探究性理解水平/向量的数量积，二倍角公式，余弦定理）

（1）
，
，
…………………2分

，
,……………………………4分

且

，
，
……6分

（2）
, ………………………………8分