长郡中学高三数学备课组组稿

（考试范围：高考全部内容）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
(i是虚数单位)，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．点M、N分别是正方体ABCD
的棱
、
的中点，用过A、M、N和D、N、
的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为

A．①、②、③ B．②、③、④

C．①、③、④ D．②、④、③

3．在△ABC中，
，且△ABC的面积为
，则BC的长为

A．
B．3 C．
D．7

4．给出如下四个命题：

①若“
”为假命题，则
均为假命题;

②命题“若a>b，则
”的否命题为“若a≤b，则
”；

③命题“任意
”的否定是“存在
”；

④在△ABC中，“A>B“是“sin A>sin B”的充要条件．

其中不正确命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

5．设第一象限内的点
满足
若目标函数
的最大值是4，则
的最小值为

A．3 B．4 C．8 D．9

6．设奇函数
在
上是增函数，且
，若函数
对所有的
都成立，则当
时t的取值范围是

A．
B．

C．
D．

7．如图，平行四边形ABCD中，
，

点M在AB边上，且
，则
等于

A．
B．
C．-1 D．1

8．已知
为等差数列，若
，则

A．24 B．27 C．15 D．54

9．设函数
有三个零点
、
、
，且
，则下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

选择题答题卡

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

10.设集合
，则

_________．

11.在等差数列
中，若
，则
=___________.

12．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，
，则棱锥O-ABCD的体积为__________．

13.若
，则实数m的取值范围是___________.

14．已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为__________．

15.定义平面向量的一种运算：
，则下列命题：

①
;②
;③
;

④若
，则
．

其中真命题是_________（写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

向量
，已知a∥b，且有函数
．

(])求函数
的最小正周期;

(2)已知锐角△ABCC的三个内角分别为A,B,C，若有
，边
，求AC的长及△ABC的面积．

1 7．（本小题满分12分）

已知在四棱锥P - ABCD中，底面

ABCD是矩形，
平面ABCD，AB=

2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD

的中点．

(l)求证：AF
平面PDC；

(2)求三棱锥B-PEC的体积；

(3)求证：AF//平面PEC..

18.（本小题满分12分）

已知函数
，数列
是公差为d的等差数列，若

(1)求数列
的通项公式；

(2)
为
的前n项和，求证：
.

19.（本小题满分13分）

请你设计一个LED霓虹灯灯箱．现有一批LED霓

虹灯灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60 cm的

正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆

心，半径为2 cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分

（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角

形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空

间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED

霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE= FB=xcm.

(1)用规格长×宽×高=145 cm×145 cm ×75 cm外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5 cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?

(2)若材料成本2元／
，霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S(
)为准，售价为2.4元／
．试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？

20.（本小题满分13分）

已知向量
（k为常数，e是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与y轴垂直，
．

(l)求k的值及F(
)的单调区间；

(2)已知函数
（a为正实数），若对于任意
，总存在
，使得
，求实数a的取值范围．

21.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，已知椭圆C：
的左焦点为
，且椭圆C的离心率
.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C的上下顶点分别为
，Q是椭圆C上异于
的任一点，直线
分别交x轴于点S，T，证明：
为定值，并求出该定值；

(3)在椭圆C上，是否存在点
，使得直线
与圆
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．