西安市第一中学

2013-2014学年度高三第二学期第二次模拟考试试题

高三数学（文科）

一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共计50分。每小题只有一个选项符合题意）

1、设集合
若
，则的范围是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2、已知向量
=(2，t),
=(1，2)，若t=t1时，
∥
；t=t2时，
⊥
,则（ ）

（A）t1=-4，t2=-1 （B）t1=-4，t2=1 （C）t1=4，t2=-1 （D）t1=4， t2=1

3、已知
＜
＜0，则（ ）

(A)n＜m＜1 (B)m＜n＜1 (C)1＜m＜n (D)1＜n＜m

4、.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）

A．46，45，56 B．46，45，53

C．47，45，56 D．45，47，53

5、下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

6、复数
,则
（ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

7、一个四面体ABCD的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8、直线
与圆
没有公共点，则的取值范围是（ ）

A．
　 B．
　 C．
D．

9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

体积是（　 　）

A.
B. 4

C. 2 D.

10、对a，b∈R，记max{a，b}=
函数f(x)=max{|x+1|，|x-2|}(x∈R)的最小值是（ ）

(A)0 (B)
(C)
(D)3

二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共计25分）

11、双曲线
的离心率为

12、已知
中，点
的坐标分别为
则
的面积为

13、若方程
有实根，则实数的取值范围为

14、设实数
满足不等式组
，则
的最大值是　　　　

15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若存在实数使
成立，则实数的取值范围是

B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB

与弦CD垂直，垂足为E，
，垂足为F，

若
，
，则

C．（坐标系与参数方程）直线
与圆
相交的弦长为

三、解答题：（本题共6小题，要求写出必要的文字说明或推理过程）

16、（本题12分）

在
中，角
的对边分别为
，已知
，

（1）求证：
；（2）若
，求
的值.

17、（本题12分）

已知数列
的前项和
满足

写出数列的前3项
；

求数列
的通项公式.

18、（本题12分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，

点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求三棱锥C－BEP的体积．

19、（本题12分）

现有7道题，其中5道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：

（1）所取的两道题都是甲类题的概率；

（2）所取的两道题不是同一类题的概率.

20、（本题13分）

已知椭圆
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(1)求椭圆
的方程；

(2)设不与坐标轴平行的直线
与椭圆
交于
两点，坐标原点
到直线
的距离为
，求
面积的最大值.

21、（本题14分）

设函数
.

（Ⅰ）求函数
的图像在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（III）若
，
为整数，且当
时，
，求
的最大值．

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2013-2014学年度高三第二学期第二次模拟考试试题

高三数学（文科）

一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共计50分。每小题只有一个选项符合题意）

1-5 BCDAA, 6-10 DAABC

二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共计25分）

11.
. 12.
. 13.
. 14. 14.

15.A
. B
. C
.

三、解答题：（本题共6小题，共计75分，要求写出必要的文字说明或推理过程）

16（12分）解：（1）由已知得
.

由正弦定理得：
.

（2）由
，
及余弦定理得
，

即有
，所以，
.

17（12分）解：（1）由
，得
.

由
,得
,

由

,得
www..com 首发

(2)当
时,有
,即
①

令
,则
,与①比较得,

是以
为首项,以2为公比的等比数列.

,故

18（12分）

解（1）证明：取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，

所以，GF∥CD且
又E为AB的中点，ABCD是正方形，

所以，AE∥CD且
故AE∥GF且

所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而

所以，AF∥平面PCE.

因为PA⊥底面ABCD，所以， PA是三棱锥P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，

∠PDA=450，所以，AD=2，正方形ABCD中，E为AB的中点，所以，EB=1，故
的面积为1，故
.

故三棱锥C－BEP的体积为
.

19（12分）

解：（1）将5道甲类题依次编号为1，2，3，4，5；将2道乙类题依次编号

为6，7.任取2道题，基本事件为：

，共21个，

而且这些基本事件出现是等可能的.

用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有

，共10个，所以

（2）用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有

，共10个，所以

20（13分）　

解：（1）依题意，
可得：

所以，椭圆

（2）坐标原点
到直线
的距离为
，所以，

联立
可得：

所以，

由题意，得：
，令
，所以

，

所以，

21（14分）解：（Ⅰ）
，
，

函数
的图像在点
处的切线方程为

（Ⅱ）
.

若
，则
恒成立，所以，
在区间
上单调递增.

若
，则当
时，
，当
时，
，

所以，
在区间
上单调递减，在
上单调递增.

（III）由于
，所以，

故当
时，
①

令
，则

函数
在
上单调递增，而

所以
在
上存在唯一的零点，故
在
上存在唯一的零点.

设此零点为，则
.当
时，
；当
时，
；

所以，
在
上的最小值为
.由
可得

所以，
由于①式等价于
.

故整数
的最大值为2.

说明：其他解法相应给分，由阅卷老师把握。