参考答案

所以
……………………….6分

(Ⅱ)
……………………….8分

又因为
……………………….10分

所以
……………………….12分

18．(Ⅰ)证明：侧棱
底面
，
底面

. ……………………….1分

又底面
是直角梯形，
垂直于
和

,又

侧面
,……………………….3分

侧面

平面
……………………….5分

(Ⅱ) 连结
,底面
是直角梯形，
垂直于
和
,

,
,设
，则
，三棱锥
,
.……………………….7分

如图建系，则
,由题意平面
的一个法向量为
，不妨设平面
的一个法向量为
，

,则
,得
，不妨令
，则
……………………….10分

,……………………….11分

设面
与面
所成二面角为
，则

……………………….12分

19．解：

（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A……1分

由
，得
，频数为39，……3分

……………………….4分

（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



……………………….8分

K2的观测值
……………………….10分

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分

20．解：

（Ⅰ）依题意有
，又因为
，所以得

故椭圆
的方程为
. ……3分

（Ⅱ）依题意，点
满足

所以
是方程
的两个根.

得

所以线段
的中点为
.

同理，所以线段
的中点为
.……………………….5分

因为四边形
是平行四边形，所以

解得，
或
(舍).

即平行四边形
的对角线
和
相交于原点
. ……7分

（Ⅲ）点
满足

所以
是方程
的两个根，即

故
.

同理，
. ……………………….9分

又因为
，所以
，其中
.

从而菱形
的面积
为

，

整理得
，其中
.……………………….10分

故，当
或
时，菱形
的面积最小，该最小值为
. ……12分

21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，
……………………….2分

∴当
时，
，当
时，
。

∴
在
上单调递增，在
上单调递减。……………………….4分

（Ⅱ）假设存在
，使得
成立，则
。

∵

∴
………………………6分

当
时，
，
在
上单调递减，∴
，即
。

……………………….8分

②当
时，
，
在
上单调递增，∴
，即
。

……………………….10分

③当
时，

在
，
，
在
上单调递减

在
，
，
在
上单调递增

所以
，即
——

由（Ⅰ）知，
在
上单调递减

故
，而
，所以不等式
无解

综上所述，存在
,使得命题成立. ………………………12分

22．证明：

（Ⅰ）连结
.因为△
∽△
，所以
.

同理
.

又因为
，所以
，即
. ……5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以△
∽△
，即
.

故
.

又因为
，

所以△
∽△
. ……10分

23．解：（Ⅰ）圆C：
，直线l：
……………………….5分

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得
，……………………….8分

设
是方程的两个根，则
，所以
……………………….10分

24．解：

（Ⅰ）
，

所以原不等式转化为
……3分

解得
，所以原不等式的解集为
………………….6分

（Ⅱ）由上问可知函数在[0,1]单调递增，因此只要
，……………………….8分

解得
或
……………………….10分