上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）

2014年1月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．

3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是_____________．

2．已知
是虚数单位，复数
满足
，则
_______．

3．已知函数
存在反函数
，若函数
的图像经过点
，

则
的值是___________．

4．已知数列
的前
项和
（
），则
的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为

，侧面积为

，则此圆锥的体积为___
_____
．

6．已知
为第二象限角，
，则
____________．

7．已知双曲线
（
，
）满足
，且双曲线的右焦点与

抛物线
的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合
和集合
中各取一个数，则这两数之积为偶

数的概率是_________．

9．在平面直角坐标系中，△
的顶点坐标分别为
，
，点
在直线

上运动，
为坐标原点，
为△
的重心，则
的最小值为__________．

10．若
存在，则实数
的取值范围是_____________．

11．在平面直角坐标系中，动点
到两条直线
与
的距离之和等于
，

则
到原点距离的最小值为_
________．

12．设集合
，
，

若存在实数
，使得
，则实数
的取值范围是___________．

13．已知函数
是偶函数，直线
与函数
的图像自左

至右依次交于四个不同点
、
、
、
，若
，则实数
的值为________．

14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为
的等边三角形（图（1））；二

级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作

等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的

作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依
次得到四级、五级、…、

级分形图．则
级分形图的周长为__________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．设向量
，
，则“
∥
”是“
”的………………（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

16．若
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A．
B．
C．
D．

17．将函数
（
）的图像分别向左平移
（
）个单位，向右平移

（
）个单位，所得到的两个图像都与函数
的图像重合，则

的最小值为……………………………………………………………………………（ ）

A．
B．
C．
D．

18．设函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
满足：①

在
上是单调函数；②
在
上的值域是
，则称区间
是函

数
的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ）

A．函数
（
）存在“和谐区间”

B．函数
（
）不存在“和谐区间”

C．函数


）存在“和谐区间”

D．函数
（
，
）不存在“和谐区间”

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥
的底面边长为
，侧棱长为
，
为棱
的中点．

（1）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求该三棱锥的体积
．

[来源:学科网ZXXK]

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知函数
，
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）在锐角三角形
中，若
，

，求△
的面积．

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为
，且点
在椭圆
上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
是椭圆
长轴上的一个动点，过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点，求证：
为定值．

[来源:学科网]

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数
（
为实常数）．

（1）若函数
图像上动点
到定点
的距离的最小值为
，求实数
的值；

（2）若函数
在区间
上是增函数，试用函数单调性的定义求实数
的取值范围；

（
3）设
，若不等式
在
有解，求
的取值
范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

数列
的首项为
（
），前
项和为
，且
（
）．设
，
（
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）当
时，若对任意
，
恒成立，求
的取值范围；

（3）当
时，试求三个正数
，
，
的一组值，使得
为等比数列，且
，
，
成等差数列．

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研（理）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．

10．
11．
12．
13．
14．

二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．
C 18．D

三．解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）取
中点
，连结
、
，因为
∥
，所以
就是异面直线
与
所成的角（或其补角）． ……………………………………………………（2分）

在△
中，
，
， ………………………………（1分）

所以
． ………………………………………………（2分）

所以，异面直线
与
所成的角的大小为
． …………………（1分）

（2）作
平面
，则
是正△
的中心，
………………………（1分）

连结
，
， ……………………………………………
………………（1分）

所以
， ……………………………………………（1分）[来源:学。科。网]

所以，
． ………………………………（2分）

20．（本题满分14分，第1小题满分8
分，第2小题满分6分）

（1）
，

………………………………………………（2分）

所以，函数
的最小正周期为
． ………………………………………………（1分）

由
（
）， ………………………………………（2分）

得
（
）， …………………………………………（2分）

所以，函数
的单调递增区间是
（
）． ……………（1分）

（2）由已知，
，所以
， ……………（1分）

因为
，所以
，所以
，从而
． …（2分）

又
，，所以，
， ………………（1
分）

所以，△
的面积
． ………
…（2分）

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1） 因为
的焦点在
轴上且长轴为
，

故可
设椭圆
的方程为
（
）， ……………………………（1分）

因为点
在椭圆
上，所以
， …………………………（2分）

解得
， …………（1分）

所以，椭圆
的方程为
． …………………………………（2分）

（2）设
（
），由已知，直线
的方程是
， ……（1分）

由


（*） ………………………（2分）

设
，
，则
、
是方程（*）的两个根，

所以有，

， ……………………………………（1分）

所以，

（定值）． ………………………………（3分）

所以，
为定值． ……………………………………………………（1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣）

22．（本题满分16分，第1小题满
分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

（1）设
，则
，

…………………………………………（1分）

， ……………………………………（1分）

当
时，解得
；当
时，解得
． …………（1分）

所以，
或
． …………………………………………（1分）

（只得到一个解，本小题得3分）

（2）由题意，任取
、
，且
，

则