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2013学年上海市高考数学模拟试卷1

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.若
，且
为纯虚数，则实数

2.已知
为第三象限的角，
,则

3.若
展开式的常数项为60，则常数
的值为

不等式
对任意
恒成立,则实数
的最大值为

5.若数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为

6.若正四棱柱
的底面边长为1，
与底面
成60°角，则

到底面
的距离为

设
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆上，若
，则点
的坐标是

8.直线
与曲线
有四个交点，则
的取值范围是

9.函数
的图

像如右图所示，则

10.已知函数
是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
都有

，则
的值是

11.已知平面直角坐标系内的两个向量
，
，且平面内的任一向量
都可以唯一表示成

，则
的取值范围是

给
个则上而下相连的正方形着黑色或白

色.当
时，在所有不同的着色方案中，

黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所

示：由此推断，当
时，黑色正方形互

不相邻着色方案共有 种，至少有两个

黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）

13.在直角三角形
中，点
是斜边
的中点，点
为线段
的中点，

则
=

14.若点
在椭圆
外，过点
作该椭圆的两条切线的切点分别为
，则切点弦
所在直线的方程为
．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为 　　　　　　　

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.已知
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，那么

A．
B．
C．
D．

16.对于函数①
，②
，③
，判断如下三个命题的真假：

命题甲：
是偶函数；

命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数；

命题丙：
在
上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是

A．①③ B．①② C．③ D．②

17.已知椭圆
（
>
>0）与双曲线
有公共的焦点，
的一条渐近线与以
的长轴为直径的圆相交于
两点，若
恰好将线段
三等分，则

A.
B.

13 C.
D.
2

18.如图，动点
在正方体
的对角线
上．过点
作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的图象大致是



三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.

已知锐角
中的三个内角分别为
．

（I）设
，求证
是等腰三角形；

（II）设向量
,
,且
∥
,若
，求
的值．

20.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题4分，第（III）小题6分。

如图，在
中，
，斜边
．

可以通过
以直线
为轴旋转

得到，且二面角
是直二面角．动点
的

斜边
上。

（I）求证：平面
平面
；

（II）当
为
的中点时，求异面直线
与
所成角的大小；

（III）求
与平面
所成角的最大值。

21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题5分，第（Ⅱ）小题4分，第（III）小题5分。

设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为
，盈利额为
。

（Ⅰ）求
与
之间的函数关系；

（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；

（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：
.

22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题5分，第（Ⅱ）小题5分，第（Ⅲ）小题6分.

已知抛物线

的准线为
,焦点为
.
的圆心在
轴的正半轴上,且与
轴相切．过原点
作倾斜角为
的直线
,交
于点
,交
于另一点
,且
.

（Ⅰ）求
和抛物线
的方程；

（Ⅱ）若
为抛物线
上的动点,求
的最小值；

（Ⅲ）过
上的动点
向
作切线,切点为
,求证:直线
恒

过一个定点,并求该定点的坐标.

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

已知数列
满足
前
项和为
,
.

（Ⅰ）若数列
满足
,试求数列
前
项和
；

（Ⅱ）若数列
满足
,试判断
是否为等比数列,并说明理由；

（Ⅲ）当
时,问是否存在
,使得
,若存在,求出所有的
的值；若不存在，请说明理由.