2014年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分．考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

参考公式：

样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式

s=
V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．

1. 已知i是虚数单位，则
等于

A.－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i

2.
展开
式中的常数项为

A．6 B．8 C．10 D．12

3. 已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为1,其直观图 和正(主)视图如图所示,则它的左(侧)视图的面积是

A．
B．1 C．
D．

4．已知
均为单位向量，它们的夹角为
，则
等于

A．1 B．
C．
D．2

5．执行如图
所示的程序框图,如果输入
，则输出的
的值为

A．7 B．9

C．11 D．13

6. 数列
的前
项和为
，若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

7. 已知函数
的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则
的值不可能是

A．
B．
C．
D．

8. 已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是

A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1＋)

9. 已知
为
上的可导函数,且
,均有
,则以下判断正确的是

A．
B．

C．
D．
大小无法确定

10. 已 知F1 ,F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F1的直线
与双曲线的左、右两支分别

交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为

A．2 B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11．
=_________.

12．等差数列
中,
, 数列
是等比
数列,且
,则
的值为 ．

13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，则满足|x|≤ 3的概率为 ．

14. 过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为 ．

15. 定义全集U的非空子集P的特征函数
表示集合P在全集U的补集.已知
均为全集U的非空子集，给出下列命题：

①若
，则对于任意
；

②对于任意
；

③对于任意
；

④对于任意
．

则正确命题的序号为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （本小题满分13分）

已知向量
，函数
．

（I）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（II）已知
中,角
的对边分别为
，若
，
，

求
的面积.

17. （本小题满分13分）

某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为

茎，小数点后的一位数字为叶)：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取

3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记

表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

18.（本小题满分13分）

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD
底面ABCD，PD
CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
，
，
．

(I)求证：BC
平面PBD：

(II)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；

(Ⅲ)设E为侧棱PC上异于端点的一点，
，试确定
的

值，使得二面角E－BD－P的余弦值为
．

19. （本小题满分13分）

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆
的右焦点重合,直线
过点F交抛物线于A、B两点.

(I)求抛物线C的方程；

(II)若直线
交y轴于点M,且
,m、n是实数,对于直线
,m+n是否为定值?

若是,求出m+n的值；否则,说明理由.

20. （本小题满分14分）

巳知函数
，
，其中
.

(Ⅰ)若
是函数
的极值点，求
的值；

(II)若
在区间
上单调递增，求
的取值范围；

(Ⅲ)记
，求证：
.

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵

．

(Ⅰ) 求
的逆矩阵
；

(Ⅱ)求矩阵
的特征值
、
和对应的特征向量
、
．

(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为

．

(Ⅰ)已知在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，点
的极坐标为
，判断点
与直线
的位置关系；

(Ⅱ)设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知
且
，若

恒成立，

(Ⅰ)求
的最小值；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.

2014漳州市高中毕业班质量检查

理科数学试卷参考答案

选择题： 1-5 D, A , D , C, B , 6-10 D , C, A , B , B.

填空题：11.9； 12.16； 13.
； 14.2； 15. .①②③.

解答题：

16.解：（I）依题意，得

　　　　　　　

　　　　　　　
………………………………………………3分

　　　∴
的最小正周期为
， ………………………………………………4分

由
得：

即
的递增区间是
． ………………………………6分

（II）由
得，
，∴
，

∵
，∴
，

∴
，∴
， ………………………………………………8分

∵
，

∴根据余弦定理得，
,

∴
， ………………………………………………11分

∴
………………………………………13分

17.解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ………………………………………2分

（Ⅱ）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，

则
； ………………………………6分

（Ⅲ）
的可能取值为0，1，2，3. ………………………………………7分

；
； …………………9分

；
. …………………11分

的分布列为：























 …………………12分

所以

. ……………………13分

另解：
的可能取值为0，1，2，3,

则
，因此
. …………………9分

有
；
；

；
. …………………11分

的分布列为：























 …………………12分

所以
=
． ……………………13分

１８．解：（Ⅰ）证明：因为侧面
⊥底面
，
⊥
，

所以
⊥底面
，所以
⊥
.

又因为
＝
，即
⊥
，

以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，
，
，
，

所以

所以
，所以
。

由
⊥底面
，可得
,

又因为
，所以
⊥平面
. ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面
的一个法向量为
，

所以

设直线AP与平面PDB所成角为
，则
……………………7分

(Ⅲ)因为
，又
，设

则

所以
，
. ………………………8分

设平面
的法向量为
，

因为
，由
，
，

得
，……………9分

令
，则可得平面
的一个法向量为
……………10分

所以
，……………………………11分

解得
或
， ………………………12分

又由题意知
，故
. ………………………1