上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次
质量调研

数学试卷（文）

2014年1月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．

3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是_____________．

2．已知
是虚数单位，复数
满足
，则
_______．

3．已知函数
存在反函数
，若函数
的图像经过点
，

则
的值是___________．

4．已知数列
的前
项和
（
），则
的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为

，侧面积为

，
则此圆锥的体积为________
．

6．已知
为第二象限角，
，则
____________．

7．已知双曲线
（
，
）满足
，且双曲线的右焦点与[来源:Zxxk.Com]

抛物线
的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合
和集合
中各任取一个数，则这两数之积为

偶数的概率是_________．

9．在边长为
的正方形
中，
为
的中点，点
在线段
上运动，则

的最大值为___________．

10．函数
（
,
）的图像经过点
，则
______．

11．设等比数列
的前
项和为
，且
，则
________．[来源:学#科#网]

12．在平面直角坐标系中，动点
到两条直线
与
的距离之积等于
，

则
到原点距离的最小值为_________．

13．设集合
，
，

若存在实数
，使得
，则实数
的取值范围是___________．

14．已知函数
是偶函数，直线
与函数
的图像自左至

右依次交于四个不同点
、
、
、
，若
，则实数
的值为_______．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分
，否则一律得零分．

15．设向量
，
，则“
∥
”是“
”的……………（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

16．若
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A．
B．
C．
D．

17．若将函数
（
）的图像向左平移
（
）个单位后，所

得图像关于
原点对称，则
的最小值是……………………………………………（ ）

A．
B．
C．
D．

18．设函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
满足：①

在
上是单调函数；②
在
上的值域是
，则称区间
是函

数
的“和谐区间”．下列结论错误的是…………………………………………（ ）

A．函数
（
）存在“和谐区间”

B．函数
（
）不存在“和谐区间”

C．函数


）存在“和谐区间”

D．函数
（
）不存在“和谐区间”

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥
的底面边长为
，侧棱长为
，
为棱
的中点．

（1）求该三棱锥的表面积
；

（2）求异面直线
与
所成
角的大小（结果用反三角函数值
表示）．

[来源:Zxxk.Com]

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

设
，函数
，
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）若
，求
的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长
轴长为
，且点
在椭圆
上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
是椭圆
长轴上的一个动点，过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点，求证：
为定值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数
和
的图像关于原点对称，且
．

（1）求函数
的解析式；

（2）解不等式
；

（3）若函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共
有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．[来源:学科网]

已知数列
满足
（
）．

（1）若数列
是等差数列，求它的首项和公差；

（2）证明：数列
不可能是等比数列；

（3）若
，
（
），试求实数
和
的值，使得数列
为等比数列；并求此时数列
的通项公式．

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

（文）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

1．
2．
3．

4．
5．
6．
7．
8．
9．

10．
11．
12．
13．
14．

二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．C 18．B

三．解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）正三棱锥的斜高
， ……………………（2分）

所以，
． ……………………（4分）

（2）取
中点
，连结
、
，因为
∥
，所以
就是异面直线
与
所成的角（或其补角）． ……………………………………（2分）

在△
中，
，
， ………………（1分）

所以
． ………………………………（2分）

所以，异面直线
与
所成的角的大小为
． ………………（1分）

20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

（1）
…………（1分）

，…（2分）

所以，函数
的最小正周期为
． ……………………（2分）

由
（
），得
（
），（2分）

所以函数
的单调递增区间是
（
）． ………………（1分）

（2）由题意，
，
，…………（1分）

所以，
． ………………………………（1分）

所以，

． ……（4分）

（中间步骤每步1分，答案2分）

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1） 因为
的焦点在
轴上且长轴为
，

故可设椭圆
的方程为
（
）， ……………………（1分）

因为点
在椭圆
上，所以
， ………………（2分）

解得
， …………（1分）

所以，椭圆
的方程为
． ………………（2分）

（2）设
（
），由已知，直线
的方程是
， ……（1分）

由


（*） ………………（2分）

设
，
，则
、
是方程（*）的两个根，

所以有，

， ……………………（1分）

所以，

（定值）． ………………（3分）

所以，
为定值． …………（1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣）

22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

（1）设
是函数
图像上任一点，则
关于原点对称的点
在函数
的图像上， …………………………（1分）

所以
，故
． …………（2分）

所以，函数
的解析式是
． …………（1分）

（2）由
，得
， …………（1分）

即
． ………………（1分）[来源:学科网]

当
时，有
，△
，不等式无解； ……（1分）

当
时，有
，
，解得
．……（2分）

综上，不等式
的解集为
． ……………………（1分）

（3）
．…………（1分）

①
当
时，
在区间
上是增函数，符合题意． …………（1分）

②当
时，函数
图像的对称轴是直线
． …………（1分）

因为
在区间
上是增函数，所以，

1）当
时，
，函数
图像开口向上，故
，

解得
； ……………………………………………………（1分）

2）当
时，
，函数
图像开口向下
，故
，解得
．…（1分）

综上，
的取值范围是
． ……………
………（1分）

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

（1）解法一：由已知
，
， ……（1分）

若
是等差数列，则
，即
， ……（1分）

得
，
， 故
． ……………………（1分）

所以，数列
的首项为