绝密★启用前 试卷类型：A

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东调研卷)

数学（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数
满足
，则
的值是

A. 1 B.
-1 C.
D.0

2.已知 ①f(x)＝
②f(x)＝(x?1)
，③f(x)=
，④f(x)=2x，其中非奇函数的个数为

A. 4 B.3 C. 2 D.1

3.设全集为R，对a＞b＞0，作集合M={x|b＜x＜
}，N＝{x|ab＜x＜a}，则集合{x|b＜x≤
}可表示为

A．M∪N B．M∩N C．CRM∩N D．M∩CRN

4.以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是

A.
B.
C.
D

5.若对任意长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于常数K，则K的取值范围是

A．(0,1] B．(0,
] C．[1,+
) D．[
,+
)

6.设负实数a,b满足a+b=-1,则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

7.给定椭圆
, 其左右焦点分别记为F1、F2, 则
的最小值是

A．1 B．
C．2 D．

8已知
,则下列说法正确的是

①
关于点(0,-1)成中心对称 ②
在
单调递增 ③当n取遍
中所有数时不可能存在
使得

A．①②③ B．②③ C．①③ D．②

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9~13题）

9.若
有正根,则a的取值范围是 。

10.某饭堂有9个窗口,每个窗口可设置2种不同的菜,如果每次只开4个窗口且相邻窗口不能同时开,则共有多少 种不同安排。

11.若X=2，输入
，则执行如图示的程序后输出V的值为 。

12．
= ．

13．设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最小值为2，则
的最大值为____________________．

14（坐标系与参数方程选做题）. 已知曲线C的参数方程为
（t为参数）, F1 、F2的极坐标分别为
和
,过点F2作垂直于极轴的直线交曲线C于点P，若∠PF1F2=
,则
为_____________________．

15（几何证明选做题）.设a＞0，b＞0，称

为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB

为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段_____________的长度是a，b的调和平均数．

三、解答题：本题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内．

16．（本小题满分12分）

设函数
(x∈R)

（Ⅰ）若t∈R，将f（x）的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；

（Ⅱ）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根，求实数k的取值范围．

17．（本小题满分12分）

如图所示，在直平行六面体
中，

，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面ABC；

（Ⅱ）当
为
的中点时，求二面角
的余弦值．

18.（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足
(n≥2),设a1=0

(Ⅰ) 合理猜想Sn的表达式(无须证明),并据此求出数列{an}

(Ⅱ) 若k≥2,证明:

19．（本题满分14分）

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为
元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．山东中学联盟

（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

20．(本小题满分14分)

已知椭圆
的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，短轴长为4
．

（I）求椭圆
的标准方程；

（II）直线
与椭圆
交于P，Q两点，A，B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
．

①求四边形APBQ面积的最大值；

②设直线PA的斜率为
，直线PB的斜率为
，

判断
+
的值是否为常数，并说明理由．

21．(本小题满分14分)

已知向量m=(ex，lnx+k)，n=(1，f(x))，m//n（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，
．

（Ⅰ）求
的值及
的单调区间；

（Ⅱ）已知函数
(
为正实数)，若对于任意
，总存在
， 使得
，求实数
的取值范围．

参考答案及解析

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

D

A

C

D

C

D



二、填空题

9.
10.120 11.195 12．
13．

14.
15. DE(或ED)

三、解答题：

16．解： (I) 若t∈R，∵
且-1≤sinx≤1．…………2分

当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值
．

当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值
．…………2分

当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值
．

综上，g（t）=
.…………5分

．

（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt 即 t2-6t+1=kt．由题意可得

关于t的方程 t2-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，…………6分

①当△=（6+k）2-4=0时，应有-1≤
≤1，解得 k=-4，或k=-8．

若 k=-4，方程有两个相等的根t=1，若 k=-8，方程有两个相等的根t=-1．…………8分

②当△=（6+k）2-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，

令h（t）=t2-6t+1-kt，由题意可得 h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．

…………10分

综合①②可得，当k≥-4，或k≤-8 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．

故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8[∪[-4，+∞）．…………12分

17．解：（Ⅰ）由题意知，
底面

由余弦定理有

故有
……………………………………4分

而
,
…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
以
为
轴,
为坐标原点建立坐标系, 则
, …………8分

由题意知,
，由勾股定理得
，又
,

，故
为
的一个法向量，
.

设
的法向量为
.

得一个法向量为
.故
…………12分

18．解：

(I)解析:

注意到
故Sn=2n(n-1)………………………………………………1分

当
时，
，符合题意………………………………………………2分

当
时，
，

两式相减得
…………………………………………4分

所以数列{
}是以0为首项，以4为公差的等差数列，
…………5分

(II)证明:结合（I）可知
,故等价证

………………………………………………6分

注意到

即

………………………………………………9分

而

故有

………………………………………………11分

………………………………………………13分

综上,有
成立………………………………………………14分

19．解：由条件可得转盘上共有
个座位，…………………………………………2分

则
，即
，

定义域为
……………………8分

………………10分

当
时，
，
为减函数

当
时，
，
为增函数……………………………………12分

因此，当
时，即座位数为32个时，总造价最低……………………14分

20．解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
. ………………………………1分

由已知b=
离心率
,得

所以，椭圆C的方程为
.……………………………………………………4分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为
，
，则
， ……5分

设A
B(
),直线AB的方程为
，代人

得：
. 由△>0，解得
，

又
与
一个比2大，一个比2小，可得22+2t+t2-12<0, 即-4

由根与系数的关系得
………………………8分

四边形APBQ的面积

故当
………………………………………………10分

②由题意知，直线PA的斜率
，直线PB的斜率

则

=
………………………12分

=
，由①知

可得

所以
的值为常数0.…………………………………14分

21．解：（I）由已知可得：
=

，

由已知，
，∴
…………………………………………………………2分

，所以
…………3分

由
，由

的增区间为
，减区间为
………………………………………5分

（II）
对于任意
，总存在
， 使得
，

……………………………………………………………………7分

由（I）知，当
时，
取得最大值
.………………………………9分

对于
，其对称轴为

当
时，
，

，从而
………………12分

当
时，
，

，从而

综上可知：
………………………………………………………………14分