2013年秋高三(上)期末测试卷

数学（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1～5 CABAD 6～10 CADAB

（10）提示：如图所示，因为圆
内含于圆
，所以
在以
为圆心半径为

的圆内运动，又点
在两条垂直的直径上运动，即
在到两条直径的

距离为的带状区域内运动，综上，
的运动区域为图中所示的多边形

区域，其中每个小弓形的面积为
，所以此

多边形区域的面积为
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）
（12） （13）
（14）
（15） （16）≤

（13）提示：先安排航模与棋艺，有
种方法，再安排另外两门课程，有
种方法，所以，安排四门课程的方法为
种．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，即

即

；………………7分

（Ⅱ）

．…………13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
；………………6分

（Ⅱ）
的取值为
，分布列如下：

．………………13分

（19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
即

；………………6分

（Ⅱ）


………………9分

又
即
………………11分

由正弦定理知
即

．………………13分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）


切线方程为

由题知，

；………………5分

（Ⅱ）
要使函数
在区间
内不单调，则只需
的函数值在
内有正有负，令
，则
，而
……………8分

当
≥
即≥
时，
，
在
内单增，又
时

只需
， 即
，
；………………10分

当
即
时，
在
上单增，在
上单减

只需
即

，矛盾，舍；综上，
．…………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题知

所以椭圆
的方程为
；…………4分

（Ⅱ）由题意知，两条切线的斜率均存在，可设点
、切线的斜率为
，则切线方程为

即

即
，记其两根分别为

在
中，令
，得
，

……………8分

又


，

令
，则
，

当
时，
取得最小值

的最大值为
．………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记第
行中的最大者为
，第列中的最小者为
，其中
，

则
，
，

显然对任意的
有，
≥
≥
，
≥
；………………5分

（Ⅱ）要
最大，则让尽量大，
尽量小，当将
排成行
列的方阵时，要使尽量大，
尽量小，则只需让
中最大的个数分布于不同的行，最小的
个数分布于不同的列，此时
，
，
，

又
，当
或
时，
取最小值
，

所以
的最大值为
．………………12分