2014年福州市高中毕业班质量检测

理科数学试卷

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若A∩B=
,则实数a的取值范围是( ).

A. a<1 B. a≤1 C. a<0 D. a≤0

2.“实数a=1”是“复数
( a∈R ,i为虚数单位)的模为
”的( ).

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件

3. 执行如图所示的程序框图,输出的M的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 命题”
,使得
”的否定是( )

A.
,都有
B.不存在
,使

C.
,都有
D.
,使

5. 已知等比数列{an}的前
项积为
n,若
,则
9=( ).

A.512 B.256 C.81 D.16

6. 如图,设向量
,
,若
＝λ
＋μ
,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )

7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ).

A.f(x)=x+sinx B.
C.f(x)=xcosx D.

8. 已知F1、F2是双曲线
(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线
对称,,则该双曲线的离心为 ( ).

A.
B.
C.
D.2

9.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),

且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数

H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )

A.5 B.4 C.3 D.2

10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则
的取值范围是( ).

A.

B.
C.
D.(5,25)

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.

11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).

12.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自

阴影部分的概率为 .

13. 若直线
与圆
相交于A、B两点,则
的值为 .

14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .

15.已知函数
,

若数列{am}满足
,且
的前
项和为
,则
= .

三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分13分)

在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:

甲地

　

乙地



 8

0

　



3 4 6 8

1

 2 4 7 8 8 9



0 2 4 5 6

2

 0 0 1 2



规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.

(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);

(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数
的分布列及数学期望
.

17. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
若向量
与向量
共线，求
的值.

18. （本小题满分13分）

如图，直角梯形
中，

=4，点
、
分别是
、
的中点，点G在
上，沿
将梯形
翻折，使平面
⊥平面
．

（Ⅰ）当
最小时，求证：
⊥
；

（Ⅱ）当
时，求二面角
平面角的余弦值.

19.（本小题满分13分）

已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切.

（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程;

（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为
和
,

①当
=
时,求证直线AB恒过一定点M;

②若
为定值
,直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.

20. （本小题满分14分）

已知函数
，其中
且

（Ⅰ）讨论
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
的图像恒在函数
图像的上方，求
的取值范围;

（Ⅲ）若存在
，
，使得
，求证：
.

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换.

已知矩阵
,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
,属于特征值1的一个特征向量
.

（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵;

（Ⅱ）计算A3
的值.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为
,直线l的参数方程为:
(t为参数),两曲线相交于M,N两点.

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

（Ⅱ）若P(－2,－4),求|PM|+|PN|的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)=|x－4|+|x－3|,

（Ⅰ）求f(x)的最小值m

（Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.

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数学(理科)试卷参考答案及评分标准

1—10 DABCA DCBBD

11.96 12.1/3 13.0 14.18+
cm2 15.8042

16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为

乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为
………………4分

(II)
的取值为1，2，3. ………………5分

………………7分

………………9分

………………11分

所以
的分布列为

 1

 2

 3













 ………………12分

故
………………13分

17. 解:(I)

=
=
……………2分

令
，

解得
即
…………4分

,
f(x)的递增区间为
………………6分

(Ⅱ)由
,得

而
,所以
,所以
得

因为向量
与向量
共线，所以
，

由正弦定理得:
　　　　 ①……………10分

由余弦定理得:
,即a2+b2－ab=9　②………12分

由①②解得
……………13分

18. 解:(Ⅰ)证明：∵点
、
分别是
、
的中点,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，

如图建立空间坐标系E﹣xyz．……………2分

翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.

EG=
BC=2,又∵EA=EB=2．

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),

∴
=(﹣2,2,2),
=(-2,-2,0)

∴
=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，

∴
⊥
………………5分

(Ⅱ)解法一：设EG=k,

∥平面
,
点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.

[(3- k)+4]×2=7-k

=

又
=
,

,

=
,

即EG=1…………………8分

设平面DBG的法向量为
,∵G(0,1,0),

∴

(－2,2,2),

则
,即

取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴
…………………10分

面BCG的一个法向量为

则cos<
>=
…………………12分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,

所以此二面角平面角的余弦值为
……………………13分

(Ⅱ)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DH
EF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. ∵平面AEFD⊥平面EBCF,
DH
平面EBCF，
OD
OB,所以
就是所求的二面角
的平面角. …………9分

由于HG=1,在
OHG中
,

又DH=2，在
DOH中
…………11分

所以此二面角平面角的余弦值为
.…………13分

19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),

依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………2分

其方程为y2=4x.- …………3分

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

由题意得x1≠x2(否则
)且x1x2≠0,则

所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,

则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0

由韦达定理得
-------※…………6分

①当
=
时,
所以
,…………7分

所以y1y2=16,又由※知:y1y2=
所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0). …………8分

②当
为定值
时.若
=
,由①知,

直线AB恒过定点M(－4,0) …………9分

当
时,由
,得
=
=

将※式代入上式整理化简可得:
,所以
,…………11分

此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
,

所以直线AB恒过定点
…………12分

所以当
时,直线AB恒过定点(－4,0).,

当
时直线AB恒过定点
.…………13分

20. 解:(I)f(x)的定义域为
.

其导数
………1分

①当
时,
,函数在